Examkin

Question

Difficulty: HardTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

II. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında sürekli ve ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

III. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIAnswer
  3. C
    Yalnız III
  4. D
    I ve II
  5. E
    II ve III

Answer

Yalnız II ifadesi her zaman doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri bir noktada türevlenebiliyorsa, o noktada fonksiyonun kendisi भी türevlenebilirdir. Eğer fonksiyonun o noktadaki değeri sıfırdan farklıysa fonksiyon işaret değiştirmediği için türevlenebilirlik korunur; eğer sıfıra eşitse mutlak değer fonksiyonu orada bir yerel minimuma sahip olur ve bu da türev değerinin sıfır olmasını gerektirerek orijinal fonksiyonun da türevini sıfır yapar.

Step-by-Step Solution

1
I. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek geliştirmek.
f(x)=1f(x) = 1 (x≥ax \geq a için) ve f(x)=−1f(x) = -1 (x<ax < a için) olarak tanımlanan parçalı fonksiyon ele alındığında, ∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Sabit fonksiyon olan ∣f∣|f| her yerde (ve dolayısıyla x=ax = a noktasında) türevlenebilirdir. Ancak ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sağdan limiti 11, soldan limiti −1-1 olduğundan bu noktada sürekli değildir.
Bir ��nermenin genel geçerliliğini çürütmek için en az bir karşıt örnek göstermek yeterlidir.
2
II. ifadenin ispatını iki ayrı durum (f(a)≠0f(a) \neq 0 ve f(a)=0f(a) = 0) altında gerçekleştirmek.
Durum 1: f(a)≠0f(a) \neq 0 olsun. Süreklilik nedeniyle aa noktasının küçük bir komşuluğunda ff işaret değiştirmez. Bu komşulukta ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) veya ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur. ∣f∣|f| türevlenebildiğinden ff de türevlenebilirdir. Durum 2: f(a)=0f(a) = 0 olsun. ∣f(x)∣≥0=∣f(a)∣|f(x)| \geq 0 = |f(a)| olduğundan x=ax=a noktası ∣f∣|f| için bir yerel minimumdur. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumundaki türevi 00 olacağından (∣f∣)′(a)=0(|f|)'(a) = 0 olur. Buradan \lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = 0 \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0 olur. olur. f(a)=0 oldug˘undanbulimit olduğundan bu limit f'(a) = 0$ olduğunu gösterir.
Sürekli bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasının, fonksiyonun kendi türevlenebilirliğini gerektirdiğini matematiksel olarak doğrulamak.
3
III. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek bulmak.
f(x)=x−af(x) = x - a doğrusal fonksiyonu her yerde ve dolayısıyla x=ax = a noktasında türevlenebilirdir (f′(a)=1f'(a) = 1). Ancak ∣f(x)∣=∣x−a∣|f(x)| = |x - a| fonksiyonunun x=ax = a noktasında grafiğinde bir sivri uç (kırılma) oluşur. Bu noktada sağdan türev 11, soldan türev −1-1 olduğundan ∣f∣|f| fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevi yoktur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalarda türevini kaybedebileceğini göstermek.

Key Concept

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki mantıksal ilişki ve mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilme koşulları.
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic