Examkin

Question

Difficulty: HardDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
I=∫12x5f(x3−1) dxI = \int_{1}^{2} x^5 f(x^3 - 1) \, dx
integrali veriliyor. Buna göre, bu integralde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
  1. A
    13∫07(u−1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u - 1) f(u) \, du
  2. B
    13∫12(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{1}^{2} (u + 1) f(u) \, du
  3. 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, duAnswer
  4. D
    ∫07(u+1)f(u) du\int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du
  5. E
    13∫18(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{1}^{8} (u + 1) f(u) \, du

Answer

Yapılan değişken değiştirme sonucunda 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du ifadesi elde edilir.
Doğru değişken değiştirme adımları uygulandığında; x5 dxx^5 \, dx ifadesi x3⋅x2 dxx^3 \cdot x^2 \, dx şeklinde parçalanır, u=x3−1u = x^3 - 1 eşitliğinden x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du bulunur. Sınırlar ise x=1x=1 için 00 ve x=2x=2 için 77 olarak güncellenir. Bu değerler yerine yazıldığında doğru integral ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Diferansiyel hesabı yapılması
u=x3−1  ⟹  du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=13 duu = x^3 - 1 \implies du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınır.
2
İntegral altındaki ifadenin düzenlenmesi
x5 f(x3−1) dx=x3⋅f(x3−1)⋅x2 dxx^5 \, f(x^3 - 1) \, dx = x^3 \cdot f(x^3 - 1) \cdot x^2 \, dx olarak yazılır. Buradan x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du değerleri yerlerine yazıldığında, integral içi (u+1)f(u)⋅13 du(u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du haline gelir.
İntegral değişkenlerini tamamen uu cinsine dönüştürmek için x5x^5 terimi x3x^3 ve x2x^2 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
İntegral sınırlarının güncellenmesi
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7
Yeni sınırlar [0,7][0, 7] aralığı olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
4
Yeni integralin yazılması
I=∫07(u+1)f(u)⋅13 du=13∫07(u+1)f(u) duI = \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du
Tüm dönüşümler ve yeni sınırlar birleştirilerek nihai integral elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisine, fonksiyonel dönüşümlere ve sınırların doğru güncellenmesine dikkat edilmelidir.
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic