Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, grafiği yy-eksenine göre simetrik olan ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan bir ff fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonunun grafiği; xx-ekseni boyunca sağa 4 birim, yy-ekseni boyunca yukarı 3 birim ötelendiğinde gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, gg fonksiyonu ile ilgili,

I. Grafiği x=−4x = -4 doğrusuna göre simetriktir.
II. (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır.
III. (3,∞)(3, \infty) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIAnswer
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Yalnız II
Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonun simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur. Bu grafik sağa 4 birim ötelendiğinde simetri ekseni x=4x=4 doğrusu olur. Aynı şekilde, fonksiyonun (0,∞)(0, \infty) aralığındaki artanlığı sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığına taşınır. Dikey öteleme bu özellikleri değiştirmediği için sadece ikinci öncül doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
ff fonksiyonunun simetri eksenini ve öteleme sonrası yeni simetri eksenini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan başlangıçtaki simetri ekseni x=0x = 0 doğrusudur. Grafiğin sağa 4 birim ötelenmesiyle yeni simetri ekseni x=4x = 4 doğrusu olur. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemez. Bu nedenle I. öncül yanlıştır.
yy-eksenine göre simetrik olan çift fonksiyonların simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur ve yatay ötelemeler bu eksenin konumunu doğrudan kaydırır.
2
gg fonksiyonunun artan olduğu aralığı belirleme.
ff fonksiyonu (0,∞)(0, \infty) aralığında artandır. Grafik sağa 4 birim ötelendiğinde artan olduğu aralık da sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığı olur. Dikey öteleme fonksiyonun artanlık/azalanlık karakterini ve bu karakterin geçerli olduğu tanım kümesi aralığını etkilemez. Bu nedenle II. öncül doğrudur.
Yatay öteleme işlemi, fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkların sınırlarını öteleme miktarı kadar kaydırır.
3
Dikey ötelemenin artanlık aralığı üzerindeki etkisini inceleme ve III. öncülü değerlendirme.
Yukarı 3 birimlik dikey öteleme sadece yy değerlerini etkiler, xx eksenindeki artanlık aralığını değiştirmez. Dolayısıyla fonksiyon (3,∞)(3, \infty) aralığında değil, (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır. Ayrıca ff çift ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan olduğundan (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında azalandır. Bu durumda gg fonksiyonu (3,4)(3, 4) aralığında azalan olacaktır. Bu nedenle III. öncül yanlıştır.
Dikey öteleme miktarı, fonksiyonun x eksenindeki artanlık/azalanlık aralığının başlangıç noktasını belirlemez.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki değişimleri
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic