Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−16)(x−3)(x2−9)(x−1)≤0 \frac{(x^2 - 16)(x - 3)}{(x^2 - 9)(x - 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -1
  2. B
    0
  3. 2Answer
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.
Eşitsizlikteki çarpanlar sadeleştirilip paydanın kökleri (x≠−3,1,3x \neq -3, 1, 3) dışarıda bırakıldığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar −4-4, 22 ve 44 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı 22 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi çarpanlarına ayırma
Pay kısmında (x−4)(x+4)(x−3)(x-4)(x+4)(x-3) ve payda kısmında (x−3)(x+3)(x−1)(x-3)(x+3)(x-1) elde edilir.
Kökleri belirlemek ve sadeleştirme yapılabilecek çarpanları görmek için ifade çarpanlarına ayrılır.
2
Tanım kümesini belirleme
Paydayı sıfır yapan x=−3x = -3, x=1x = 1 ve x=3x = 3 değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yapar.
3
Sadeleştirme yapma ve yeni ifadeyi oluşturma
x≠3x \neq 3 için ifade (x−4)(x+4)(x+3)(x−1)≤0\frac{(x-4)(x+4)}{(x+3)(x-1)} \leq 0 halini alır.
Ortak olan (x−3)(x-3) çarpanı, x≠3x \neq 3 koşulu altında sadeleştirilir.
4
İşaret tablosu oluşturma
Kökler: −4,−3,1,4-4, -3, 1, 4. İşaret dağılımı sağdan sola sırasıyla ++, −-, ++, −-, ++ şeklindedir. Ayrıca x=3x = 3 noktasında ifadenin tanımsız olduğu unutulmamalıdır.
Eşitsizliğin yönünü belirlemek için köklere göre işaret tablosu oluşturulur.
5
Çözüm kümesini ve tam sayıları belirleme
Çözüm kümesi: [−4,−3)∪(1,3)∪(3,4][-4, -3) \cup (1, 3) \cup (3, 4]. Bu aralıktaki tam sayılar: −4,2-4, 2 ve 44'tür.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar ve bu aralıklardaki tam sayılar tespit edilir.
6
Tam sayıların toplamını bulma
(−4)+2+4=2(-4) + 2 + 4 = 2
Soru kökünde istenen tam sayıların toplamı hesaplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic