Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Dik koordinat düzleminde, y=x2−mx+2y = x^2 - mx + 2 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu iki farklı noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarından biri parabolün tepe noktası olduğuna göre, mm sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. -4Answer
  2. B
    4
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    -8

Answer

-4
Parabolün tepe noktasının ordinat ve apsis değerleri doğru denklemini sağlamak zorundadır. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve kökler toplamı formülü uygulandığında, alabileceği değerler toplamının −4-4 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm değişkeni cinsinden ifade etmek.
Tepe noktası T(m2,2−m24)T\left(\frac{m}{2}, 2 - \frac{m^2}{4}\right) olarak bulunur.
Genel denklemi y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c olan parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a = 1 ve b=−mb = -m olduğundan r=m2r = \frac{m}{2} ve k=(m2)2−m(m2)+2=2−m24k = \left(\frac{m}{2}\right)^2 - m\left(\frac{m}{2}\right) + 2 = 2 - \frac{m^2}{4} elde edilir.
2
Tepe noktasının doğrunun üzerinde olması koşulunu kullanarak mm'ye bağlı bir denklem elde etmek.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Tepe noktası doğrunun üzerinde olduğundan, koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. y=2x+1y = 2x + 1 denkleminde x=m2x = \frac{m}{2} ve y=2−m24y = 2 - \frac{m^2}{4} yazılırsa: 2−m24=2(m2)+1  ⟹  2−m24=m+12 - \frac{m^2}{4} = 2\left(\frac{m}{2}\right) + 1 \implies 2 - \frac{m^2}{4} = m + 1 elde edilir. Her iki taraf 4 ile çarpılıp düzenlendiğinde m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 bulunur.
3
İki farklı noktada kesişim koşulunun (mm'nin bulunan değerleri için) geçerliliğini kontrol etmek.
Her iki mm değeri için de parabol ve doğrunun iki farklı noktada kesiştiği doğrulanır.
Ortak çözüm denklemi x2−mx+2=2x+1  ⟹  x2−(m+2)x+1=0x^2 - mx + 2 = 2x + 1 \implies x^2 - (m+2)x + 1 = 0 olur. Bu denklemin diskriminantı Δ=(m+2)2−4=m2+4m\Delta = (m+2)^2 - 4 = m^2 + 4m şeklindedir. İkinci adımda m2+4m=4m^2 + 4m = 4 olduğunu bulmuştuk. Buradan Δ=4>0\Delta = 4 > 0 bulunur. Δ>0\Delta > 0 olduğundan parabol ile doğru daima iki farklı noktada kesişir.
4
mm'nin alabileceği farklı değerlerin toplamını hesaplamak.
Değerlerin toplamı −4-4 olarak bulunur.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δm=42−4(1)(−4)=32>0\Delta_m = 4^2 - 4(1)(-4) = 32 > 0 olduğundan mm'nin iki farklı gerçel sayı değeri vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü olan −ba-\frac{b}{a} uygulandığında, değerlerin toplamı −41=−4-\frac{4}{1} = -4 bulunur.

Key Concept

Parabol ile doğrunun kesişim durumlarının ortak çözüm denklemi ve diskriminant yardımıyla incelenmesi, tepe noktası koordinatlarının geometrik yorumu.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic