Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡4x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡4x+log⁡4x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_4 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_2 x denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade yanlıştır, çünkü denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {1,24}\{1, 24\} olmak üzere iki elemanlıdır.
Verilen ifade yanlıştır. Çünkü denklemin x=1x = 1 ve x=24x = 24 olmak üzere iki farklı gerçel kökü vardır; dolayısıyla çözüm kümesi tek elemanlı değil, iki elemanlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin tanım kümesini belirlemek için logaritma fonksiyonlarının argümanlarını kontrol edin.
x>0x > 0 olmalıdır. Bu durumda x=1x = 1 ve x=24x = 24 gibi pozitif değerler tanım kümesine dahildir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Denklemdeki logaritma terimlerini ortak bir tabana (örneğin doğal logaritma tabanı olan ee'ye) dönüştürün.
ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4=ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3+ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4+ln⁡xln⁡4⋅ln⁡xln⁡2\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} = \frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} + \frac{\ln x}{\ln 4} \cdot \frac{\ln x}{\ln 2}
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Eşitliğin her iki tarafını (ln⁡x)2(\ln x)^2 ortak parantezine alarak kökleri inceleyin.
(ln⁡x)2⋅[ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4−(1ln⁡2⋅ln⁡3+1ln⁡3⋅ln⁡4+1ln⁡4⋅ln⁡2)]=0(\ln x)^2 \cdot \left[ \frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} - \left( \frac{1}{\ln 2 \cdot \ln 3} + \frac{1}{\ln 3 \cdot \ln 4} + \frac{1}{\ln 4 \cdot \ln 2} \right) \right] = 0
Ortak çarpan parantezine alarak denklemi sıfıra eşitleyen kökleri belirlemek.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
İlk çarpan için: (ln⁡x)2=0  ⟹  ln⁡x=0  ⟹  x1=1(\ln x)^2 = 0 \implies \ln x = 0 \implies x_1 = 1. İkinci çarpan için parantez içi sıfıra eşitlendiğinde: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4=ln⁡4+ln⁡2+ln⁡3ln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4  ⟹  ln⁡x=ln⁡(4⋅2⋅3)=ln⁡24  ⟹  x2=24\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} = \frac{\ln 4 + \ln 2 + \ln 3}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} \implies \ln x = \ln(4 \cdot 2 \cdot 3) = \ln 24 \implies x_2 = 24
Çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapılırken kök kaybını önlemek için tanım kümesi kontrolü.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic