Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x2−4x−12 f(x) = x^2 - 4x - 12
g(x)=x2−1 g(x) = x^2 - 1
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅(x2−2x−3)3(x2−4)⋅g(x+1)≤0 \frac{f(x-2) \cdot (x^2 - 2x - 3)^3}{(x^2 - 4) \cdot g(x+1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    7
  2. B
    33
  3. 34Answer
  4. D
    36
  5. E
    26

Answer

Eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı 3434'tür.
İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki ortak çarpanlar belirlenir. x=0x = 0 ve x=−2x = -2 değerleri çift katlı kök olup paydada yer aldıklarından çözüm kümesine dahil edilmezler. İşaret tablosu yapılıp ≤0\leq 0 koşulunu sağlayan pozitif tam sayılar 1,3,4,5,6,7,81, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı 3434'tür.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12 ve g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1 fonksiyonlarının kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.
f(x)=(x−6)(x+2)=0  ⟹  x=6f(x) = (x-6)(x+2) = 0 \implies x = 6 ve x=−2x = -2 olur. g(x)=(x−1)(x+1)=0  ⟹  x=1g(x) = (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1 olur.
Ötelenmiş fonksiyonların köklerini bulabilmek için temel fonksiyonların köklerini bilmemiz gerekir.
2
f(x−2)f(x-2) ve g(x+1)g(x+1) fonksiyonlarının kökleri belirlenir.
f(x−2)=0  ⟹  x−2=6  ⟹  x=8f(x-2) = 0 \implies x-2 = 6 \implies x = 8 ve x−2=−2  ⟹  x=0x-2 = -2 \implies x = 0 olur. g(x+1)=0  ⟹  x+1=1  ⟹  x=0g(x+1) = 0 \implies x+1 = 1 \implies x = 0 ve x+1=−1  ⟹  x=−2x+1 = -1 \implies x = -2 olur.
Eşitsizlik tablosunda yer alacak kritik noktaları elde etmek için bu adımı uygulamalıyız.
3
Eşitsizlikteki tüm çarpanların kökleri ve katlılık durumları listelenir.
Paydaki terimlerin kökleri: f(x−2)f(x-2)'den x=0x = 0 ve x=8x = 8; (x2−2x−3)3=(x−3)3(x+1)3(x^2-2x-3)^3 = (x-3)^3(x+1)^3'den x=3x = 3 (üçüncü dereceden tek katlı) ve x=−1x = -1 (üçüncü dereceden tek katlı). Paydadaki terimlerin kökleri: x2−4x^2-4'ten x=2x = 2 ve x=−2x = -2; g(x+1)g(x+1)'den x=0x = 0 ve x=−2x = -2. Toplamda köklerin katları: x=−2x = -2 (hem paydada 2 adet   ⟹  \implies çift katlı), x=−1x = -1 (payda 3 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=0x = 0 (payda 1 adet ve paydada 1 adet   ⟹  \implies çift katlı), x=2x = 2 (paydada 1 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=3x = 3 (payda 3 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=8x = 8 (payda 1 adet   ⟹  \implies tek katlı). Denetlenen payda kökleri x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 çözüm kümesine dahil edilemez.
İşaret tablosunda işaretin değişip değişmeyeceğini ve hangi noktaların tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılacağını belirlemek için katlılık analizi şarttır.
4
Kritik noktalar küçükten büyüğe sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
Sıralama: −2,−1,0,2,3,8-2, -1, 0, 2, 3, 8. x>8x > 8 için ifadenin işareti pozitif olduğundan tablo sağdan ++ ile başlar. Çift katlı köklerde (x=0x = 0 ve x=−2x = -2) işaret değişmez, tek katlı köklerde değişir. İşaretler: x∈(8,∞)  ⟹  +x \in (8, \infty) \implies +, x∈[3,8]  ⟹  −x \in [3, 8] \implies -, x∈(2,3]  ⟹  +x \in (2, 3] \implies +, x∈(0,2)  ⟹  −x \in (0, 2) \implies -, x∈[−1,0)  ⟹  −x \in [-1, 0) \implies -, x∈(−2,−1]  ⟹  +x \in (-2, -1] \implies +, x∈(−∞,−2)  ⟹  +x \in (-\infty, -2) \implies +.
Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu (≤0\leq 0) aralıkları bulmak için işaret incelemesi tamamlanır.
5
İşaret tablosundan ≤0\leq 0 olan aralıklar tespit edilerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar: [−1,0)∪(0,2)∪[3,8][-1, 0) \cup (0, 2) \cup [3, 8] şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar: 1,3,4,5,6,7,81, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 1+3+4+5+6+7+8=341 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34 olarak hesaplanır.
Soruda istenen pozitif tam sayı çözümlerinin toplamına ulaşmak için son hesaplama gerçekleştirilir.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerin çözümü, çift katlı kök analizi ve payda köklerinin hariç tutulması.

Alternative Method

Alternatif olarak, eşitsizliği sağlayan tam sayıları tek tek değer vererek de test edebiliriz. Ancak bu yöntem zaman alıcı ve hata payı yüksek olduğundan işaret tablosu yöntemi tercih edilmelidir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic