Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)+3cos⁡(x)−3=02\sin^2(x) + 3\cos(x) - 3 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.

Bu ifade doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0, 2π] aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 4π radyandır.
Denklemin çözümü sonucunda kosinüs değerleri 12\frac{1}{2} ve 11 olarak elde edilir. Bu değerleri [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında sağlayan kökler sırasıyla {0,π3,5π3,2π}\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\} şeklindedir. Bu köklerin toplamı 4π4\pi radyan yaptığından verilen ifade tamamen doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyona bağlı yazma.
sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) yazılarak denklem 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=02(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 şeklinde düzenlenir.
Denklemi çözebilmek için tüm terimleri aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.
−2cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1=0  ⟹  2cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1=0-2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \implies 2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0 olur. Çarpanlarına ayrıldığında (2cos⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\cos(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Kosinüs cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edip köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.
3
Kosinüs değerlerini belirleme ve bu değerleri sağlayan kökleri bulma.
cos⁡(x)=12  ⟹  x1=π3,x2=5π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{5\pi}{3} ve cos⁡(x)=1  ⟹  x3=0,x4=2π\cos(x) = 1 \implies x_3 = 0, x_4 = 2\pi bulunur.
[0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz tespit etmek için.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplama.
Toplam=0+π3+5π3+2π=4π\text{Toplam} = 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + 2\pi = 4\pi radyandır.
Soru kökündeki ifadenin doğruluğunu doğrulamak için.

Key Concept

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen trigonometrik denklemlerin çözümü ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Alternative Method

Denklemi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle de çözebiliriz: 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=0  ⟹  2(1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))−3(1−cos⁡(x))=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2+2cos⁡(x)−3)=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2cos⁡(x)−1)=02(1-\cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 \implies 2(1-\cos(x))(1+\cos(x)) - 3(1-\cos(x)) = 0 \implies (1-\cos(x))(2+2\cos(x)-3) = 0 \implies (1-\cos(x))(2\cos(x)-1) = 0 elde edilir ve buradan yine aynı köklere ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic