Yüksekliği 5\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taba… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Yüksekliği $5\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı $2\text{ cm}$ 'den $r\text{ cm}$ 'ye ( $r > 2$ ) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı $45\pi\text{ cm}^3/\text{cm}$ olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı ( $r$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Answer: 7 cm

Answer

Son durumdaki taban yarıçapı

7\text{ cm}

olarak bulunur.

Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak

V(r) = 5\pi r^2

fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2)

olur. Bu ifadenin

45\pi

değerine eşitlenmesiyle

5\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma

V(r) = 5\pi r^2

Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (

V = \pi r^2 h

Ortalama değişim hızı denklemini kurma

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.

Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma

5\pi(r + 2) = 45\pi

V(r) = 5\pi r^2

V(2) = 20\pi

değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla

(r-2)

ifadeleri birbirini sadeleştirir.

Elde edilen birinci dereceden denklemi

r

için çözme

r = 7

Denklemin her iki tarafı

5\pi

ile sadeleştirilerek

r + 2 = 9

eşitliği elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

oranı ile hesaplanır.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic