2\sin^2(x) - \sin(x) = 0 denkleminin [0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$2\sin^2(x) - \sin(x) = 0$ denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı 4'tür.

Verilen denklem

\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0

olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan

\sin(x) = 0

denklemini sağlayan kökler

[0, \pi]

kapalı aralığında

x = 0

x = \pi

olarak bulunur.

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}

denklemini sağlayan kökler ise aynı aralıkta

x = \frac{\pi}{6}

x = \frac{5\pi}{6}

olarak bulunur. Bu durumda denklemin belirtilen aralıkta 4 farklı kökü vardır.

Denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.

\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0

Çarpım durumuna getirilen ifadelerde kök bulmak için her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.

İlk çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.

\sin(x) = 0 \implies x = 0

veya

x = \pi

Sinüs fonksiyonunu sıfır yapan ve

[0, \pi]

kapalı aralığında yer alan açılar belirlenir.

İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.

2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}

veya

x = \frac{5\pi}{6}

Sinüs değeri

\frac{1}{2}

olan ve

[0, \pi]

kapalı aralığına (birinci ve ikinci bölgeye) düşen açılar belirlenir.

Bulunan tüm kökleri birleştirerek toplam kök sayısını belirleyin.

Kökler kümesi

\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}

olup eleman sayısı 4'tür.

Tüm kökler birbirinden farklı ve verilen aralıkta yer aldığı için toplam kök sayısı bulunur.

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.

Estimated Time:1m 30s

Question