Examkin

Question

Difficulty: MediumAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3x+2 f(x) = x^2 - 3x + 2
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2 \lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 4Answer
  4. D
    -4
  5. E
    0

Answer

4 değeri doğru cevaptır.
Limit ifadesini türevin limit tanımına uygun hâle getirmek için payı ve paydayı (x2−2)−2=x2−4(x^2 - 2) - 2 = x^2 - 4 terimini elde edecek şekilde düzenleriz. Bunun için ifadeyi x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x - 2} ile çarparız. Bu durumda limit, f′(2)⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4f'(2) \cdot \lim_{x \to 2}(x+2) = f'(2) \cdot 4 olur. f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur ve limitin değeri 44 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzetmek için uygun çarpanı belirleme.
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2=lim⁡x→2[f(x2−2)−f(2)x2−4⋅x2−4x−2]\lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right] ifadesi elde edilir.
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→af(u)−f(a)u−a=f′(a)\lim_{u \to a} \frac{f(u) - f(a)}{u - a} = f'(a) yapısını oluşturmak için.
2
Değişken değiştirme ve sadeleştirme işlemlerini yapma.
u=x2−2u = x^2 - 2 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken u→2u \to 2 olur. Diğer yandan x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 olur.
Belirsizliği gidermek ve türev limit tanımını doğrudan uygulamak için.
3
Limit değerini f′(2)f'(2) cinsinden yazma.
Limit ifadesi lim⁡u→2f(u)−f(2)u−2⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4\lim_{u \to 2} \frac{f(u) - f(2)}{u - 2} \cdot \lim_{x \to 2} (x+2) = f'(2) \cdot 4 şekline gelir.
Dönüştürülmüş limitleri hesaplamak için.
4
f′(2)f'(2) değerini hesaplayarak sonucu bulma.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur. Buradan limit değeri 1⋅4=41 \cdot 4 = 4 bulunur.
Fonksiyonun türev kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Türevin limit tanımı ve değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama.

Alternative Method

Limit ifadesine L'Hôpital kuralı uygulanarak payın ve paydanın xx değişkenine göre türevi alınabilir. Payın türevi f′(x2−2)⋅2xf'(x^2 - 2) \cdot 2x, paydanın türevi ise 11'dir. x=2x = 2 için limit f′(2)⋅41=4⋅f′(2)\frac{f'(2) \cdot 4}{1} = 4 \cdot f'(2) olur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

More questions from this topic