Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bir teknoloji firmasının ürettiği bir yazılımın xx adet lisansının toplam üretim maliyeti C(x)C(x) TL, bu lisansların satışından elde edilen toplam gelir ise R(x)R(x) TL'dir.

aa bir gerçel sayı olmak üzere,
C(x)=(3a−12)x+150C(x) = (3a - 12)x + 150
R(x)=(a+8)x+30R(x) = (a + 8)x + 30

olarak modellenmiştir. Lisans başına düşen üretim maliyeti katsayısı ve lisans başına düşen satış fiyatı katsayısı pozitif birer gerçel sayıdır.

Bu firmanın yazılım satışından kâr elde edebilmesi (toplam gelirin toplam üretim maliyetinden fazla olması) için 20'den fazla lisans satmasının yeterli olduğu bilindiğine göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Answer: 18

Answer

a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 18'dir.
Kâr elde etme koşulu olan R(x)>C(x)R(x) > C(x) eşitsizliği çözüldüğünde (20−2a)x>120(20-2a)x > 120 elde edilir. Bu eşitsizliğin x≥21x \ge 21 aralığında sağlanabilmesi için 20−2a>020-2a > 0 (yani a<10a < 10) olmalı ve x>6010−ax > \frac{60}{10-a} eşitsizliğinde en küçük değer olan 2121 bu koşulu sağlamalıdır. Buradan 21>6010−a  ⟹  a<507≈7,1421 > \frac{60}{10-a} \implies a < \frac{50}{7} \approx 7,14 bulunur. Katsayıların pozitiflik şartından gelen a>4a > 4 sınırı ile birleştirildiğinde 4<a<7,144 < a < 7,14 aralığındaki aa tam sayıları 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Katsayıların pozitif olma koşullarını belirleme
a>4a > 4
Lisans başına düşen üretim maliyeti katsayısı (3a−123a-12) ve satış fiyatı katsayısı (a+8a+8) pozitif olmalıdır.
2
Kâr eşitsizliğini oluşturma
(20−2a)x>120(20-2a)x > 120
Kâr elde etmek için toplam gelirin (R(x)R(x)), toplam maliyetten (C(x)C(x)) büyük olması gerekir.
3
x katsayısının işaretini analiz etme
20−2a>0  ⟹  a<1020-2a > 0 \implies a < 10
Pozitif xx değerleri için eşitsizliğin sağlanabilmesi amacıyla xx'in katsayısı pozitif olmalıdır. Negatif veya sıfır olması durumunda eşitsizlik sağlanamaz.
4
Eşitsizliği x yalnız kalacak şekilde çözme
x>6010−ax > \frac{60}{10-a}
20−2a>020-2a > 0 olduğundan bölme işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
5
20'den fazla lisans satışı (x≥21x \ge 21) şartını uygulama
a<507a < \frac{50}{7}
x≥21x \ge 21 olan tüm tam sayıların eşitsizliği sağlaması için en küçük sınır olan 2121'in eşitsizliği sağlaması (21>6010−a21 > \frac{60}{10-a}) gerekir.
6
a tam sayı değerlerini bulma ve toplama
5, 6, 7 tam sayılarının toplamı 18'dir.
4<a<7,144 < a < 7,14 aralığındaki tam sayılar belirlenir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde değişkenlerin katsayılarının işaretine göre eşitsizlik yönünün incelenmesi ve çözüm kümesi sınırlarının analizi.
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic