Examkin

Question

Difficulty: MediumÖnermeler ve Bağlaçlar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
p:a⋅b c¸ift sayıdır.q:b+c tek sayıdır. r:a+c tek sayıdır.\begin{aligned} p&: a \cdot b \text{ çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ tek sayıdır.} \\\ r&: a + c \text{ tek sayıdır.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.
(p⇒q)∨r(p \Rightarrow q) \lor r
bileşik önermesinin doğruluk değeri 00 olduğuna göre;

I. a+ba + b çift sayıdır.
II. a⋅ca \cdot c tek sayıdır.
III. b−cb - c çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.
Verilen bileşik önerme ancak ve ancak bileşenlerinin her ikisi de yanlış olduğunda 0 değerini alan bir veya bağlacı içerir. Buradan p⇒qp \Rightarrow q ifadesinin 0 ve rr ifadesinin 0 olduğu görülür. İse bağlacının 0 olması için ise ilk önermenin doğru, ikincinin yanlış olması gerekir. Bu durumda pp doğru (1), qq yanlış (0) ve rr yanlış (0) olur. Buna göre b+cb+c ve a+ca+c toplamları çift, a⋅ba \cdot b çarpımı ise çifttir. Toplamlarının çift olması aa, bb ve cc sayılarının aynı türden (hepsi tek ya da hepsi çift) olduğunu gösterir. Çarpımları çift olduğuna göre bu sayıların tamamı çift olmalıdır. Buradan hareketle çift sayıların toplamı ve farkı çift olduğundan birinci ve üçüncü ifadelerin doğru, çarpımları çift olacağından ikinci ifadenin yanlış olduğu belirlenir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşik önermenin doğruluk değerinden bileşenlerin doğruluk değerlerini belirlemek.
p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 bulunur. Buradan da p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir.
Veya bağlacının sonucu 0 ise her iki bileşen de 0 olmalıdır. İse bağlacının sonucu 0 ise birinci bileşen 1, ikinci bileşen 0 olmalıdır.
2
pp, qq ve rr önermelerinin doğruluk değerlerine göre değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
q≡0q \equiv 0 olduğundan b+cb+c çift, r≡0r \equiv 0 olduğundan a+ca+c çifttir. Bu durum aa, bb ve cc sayılarının üçünün de aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu gösterir. p≡1p \equiv 1 olduğundan a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. Dolayısıyla aa, bb ve cc sayılarının tamamı çift sayıdır.
Üç sayı da tek olsaydı çarpımları tek olurdu ve bu durum p≡1p \equiv 1 ile çelişirdi. Bu sebeple tüm değişkenler çift olmak zorundadır.
3
Elde edilen sonuçlara göre verilen ifadelerin doğruluk durumlarını denetlemek.
aa ve bb çift olduğundan a+ba+b çifttir (I doğru). aa ve cc çift olduğundan a⋅ca \cdot c çifttir, tek değildir (II yanlış). bb ve cc çift olduğundan b−cb-c çifttir (III doğru).
Çift sayıların toplamı ve farkı her zaman çift sayıdır.

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin mantıksal bağlaçlar yardımıyla bulunması ve bu değerlerin temel matematiksel özelliklerle ilişkilendirilmesi.
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic