x ve y gerçel sayıları için p: x \cdot y < 0 q: x + y > 0 r: x^2 > y^2 önermeleri veriliyo… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için

$p: x \cdot y < 0$
$q: x + y > 0$
$r: x^2 > y^2$

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor (r \Rightarrow q)

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A
$x - y > 0$
B
$x \cdot (x + y) < 0$
$y \cdot (x + y) < 0$ Answer
D
$x^2 < y^2$
E
$x + y \geq 0$

Answer

y * (x + y) < 0 ifadesinin negatif olması her zaman doğrudur.

Bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacının her iki yanındaki ifadelerin de yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q \equiv 0

r \Rightarrow q \equiv 0

elde edilir. Koşullu önermenin yanlış olduğu tek durum birincinin doğru, ikincinin yanlış olduğu durumdur. Dolayısıyla

p \equiv 1

r \equiv 1

q \equiv 0

olmalıdır. Bu durumda

x \cdot y < 0

(zıt işaretli sayılar),

|x| > |y|

(x mutlak değerce y'den büyük) ve

x + y \leq 0

(toplamları sıfırdan küçük veya eşit) bulunur. Zıt işaretli iki sayının toplamı negatif ve mutlak değerleri farklı olduğuna göre, mutlak değerce büyük olan

x

negatif (

x < 0

y

ise pozitif (

y > 0

) olmalıdır. Ayrıca

x + y < 0

olduğu kesindir. Buradan pozitif olan

y

ile negatif olan

x + y

çarpıldığında sonuç daima negatif olacağından bu çarpımı içeren ifade her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

Bileşik önermenin doğruluk değerlerini mantık kurallarına göre analiz etmek.

p \equiv 1

r \equiv 1

q \equiv 0

doğruluk değerleri elde edilir.

Veya bağlacının yanlış olması için her iki tarafın da yanlış olması, ise bağlacının yanlış olması için ise ilk önermenin doğru, ikincisinin yanlış olması gerekir.

Önermelerin doğruluk değerlerini matematiksel eşitsizliklere dönüştürmek.

x \cdot y < 0

x^2 > y^2

x + y \leq 0

eşitsizlikleri kurulur.

Önermelerin doğruluk değerleri, içerdikleri matematiksel ifadelerin doğru ya da yanlış olduğunu gösterir.

Eşitsizliklerden yararlanarak x ve y değişkenlerinin işaretlerini belirlemek.

x < 0

y > 0

olduğu tespit edilir.

Zıt işaretli iki sayının toplamının negatif olabilmesi için mutlak değerce büyük olan sayının negatif olması gerekir.

Bulunan işaretler ve eşitsizlikler yardımıyla seçenekleri değerlendirmek.

y > 0

x + y < 0

olduğundan bunların çarpımı daima negatif (

y(x+y) < 0

) olur.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.

Key Concept

Önermeler, mantık bağlaçları ve eşitsizlik sistemleri ile ilişkisi

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic