Examkin

Question

Difficulty: MediumBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bir su arıtma cihazında filtre ömrü, kullanılan su miktarına göre kısalmaktadır. Yeni takılan bir filtrenin başlangıçtaki kapasitesi %100'dür. Cihazdan geçen her 120 litre su için filtrenin kapasitesi %8 azalmaktadır.

Filtre kapasitesi %30'un altına düştüğünde arıtma kalitesi yetersiz hale gelmekte ve filtrenin değiştirilmesi gerekmektedir.

Buna göre, filtrenin değiştirilmesine gerek kalmadan bu cihazdan filtrelenebilecek su miktarının (litre cinsinden) alabileceği değerleri ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [0,450][0, 450]
  2. B
    [0,1050)[0, 1050)
  3. [0,1050][0, 1050]Answer
  4. D
    [1050,∞)[1050, \infty)
  5. E
    [0,1500][0, 1500]

Answer

Filtrenin değiştirilmesine gerek kalmadan filtrelenebilecek su miktarının alabileceği değerleri gösteren en geniş aralık [0, 1050] aralığıdır.
Filtrenin değiştirilmemesi koşulu kalan kapasitenin %30 veya daha fazla olmasıdır. Eşitsizlik 100−x15≥30100 - \frac{x}{15} \geq 30 olarak kurulup çözüldüğünde x≤1050x \leq 1050 elde edilir. Su miktarı negatif olamayacağı için en geniş değer aralığı her iki sınır da dahil olmak üzere [0, 1050] olur.

Step-by-Step Solution

1
Kalan filtre kapasitesini su miktarına bağlı olarak veren matematiksel ifadeyi oluşturmak
Başlangıç kapasitesi %100 olup her 120 litrede %8 azaldığına göre, xx litre su filtrelendiğinde kalan kapasite yüzdesi C(x)=100−8120x=100−x15C(x) = 100 - \frac{8}{120}x = 100 - \frac{x}{15} olarak ifade edilir.
Kapasite kaybının doğrusal olmasından yararlanarak su tüketimine bağlı kalan kapasite modelini kurmak gerekir.
2
Filtrenin değiştirilmesini gerektirmeyen sınır koşulunu belirleyip eşitsizliği kurmak
Kapasite %30'un altına düşmemelidir. Dolayısıyla C(x)≥30C(x) \geq 30 olmalıdır. Buradan 100−x15≥30100 - \frac{x}{15} \geq 30 eşitsizliği elde edilir.
Değiştirme kriteri olan %30 sınırının güvenli tarafta kalması için eşitsizlik yönünün büyük veya eşit olması gerekir.
3
Eşitsizliği çözerek maksimum su miktarını bulmak
−x15≥−70-\frac{x}{15} \geq -70 eşitsizliğinin her iki tarafı −15-15 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve x≤1050x \leq 1050 elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında yön değiştireceği kuralını uygulayarak x'in üst sınırını bulmak gerekir.
4
Fiziksel sınırlamaları da ekleyerek en geniş aralığı belirlemek
Su miktarı negatif olamayacağından x≥0x \geq 0 olmalıdır. Bu durumda çözüm kümesi 0≤x≤10500 \leq x \leq 1050 yani [0,1050][0, 1050] aralığı olur.
Gerçek hayat problemlerinde miktarların negatif olamayacağı kısıtını ekleyerek matematiksel çözümü gerçek durumla uyumlu hale getirmek gerekir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin kurulması, çözülmesi ve negatif sayıyla çarpma/bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Alternative Method

Filtrenin değiştirilme sınırına gelmesi için kapasitesinin en fazla %70 azalması gerekir. Her 120 litrede %8 azalıyorsa, %70 azalması için gereken su miktarı doğru orantı kurularak bulunabilir: 120 litrede %8 azalıyorsa, x litrede %70 azalır. Buradan 8x = 120 * 70 ve x = 1050 litre bulunur. Kapasite kaybı en fazla %70 olabileceğinden su miktarı 0 ile 1050 litre arasında (sınırlar dahil) olmalıdır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic