Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Olayların Olasılığı

Bir sinema salonunda yan yana bulunan ve 11'den 1212'ye kadar ardışık sayılarla numaralandırılmış 1212 koltuğun bazılarının dolu, bazılarının ise boş olduğu bilinmektedir. Bu koltukların doluluk durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmi��tir:

* Dolu koltukların numaralarının her biri birer çift sayıdır.
* Boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun numarasının asal sayı olma olasılığı 12\frac{1}{2}'dir.
* Boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun numarasının tek sayı olma olasılığı 34\frac{3}{4}'tür.

Buna göre, bu sıradaki dolu koltuk sayısı kaçtır?

  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

Dolu koltuk sayısı 4'tür.
Dolu koltukların numaraları çift sayı olduğundan, tek numaralı tüm koltuklar boştur. 1 ile 12 arasındaki tek sayılar 6 adet olup bunların tamamı boş koltuklar kümesindedir. Boş koltuklar arasından seçilen bir koltuğun tek sayı olma olasılığı 3/4 olarak verildiğine göre, boş koltuk sayısı 8'dir. Toplam 12 koltuk olduğundan dolu koltuk sayısı 12 - 8 = 4 olarak bulunur. Asal sayı olma olasılığı olan 1/2 değeri de bu durumu doğrular; çünkü boş koltuklardaki asal sayılar sadece tek olan asallardır (3, 5, 7, 11) ve sayıları 4'tür. 4/8 = 1/2 oranı sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Dolu koltukların numaralarının çift sayı olmasından hareketle tek numaralı koltukların durumunu belirlemek.
11 ile 1212 arasındaki tek sayılar {1,3,5,7,9,11}\{1, 3, 5, 7, 9, 11\} olmak üzere bu 66 koltuğun tamamı boş koltuktur.
Dolu olan tüm koltukların numaraları çift sayı olarak verildiğinden, hiçbir tek numaralı koltuk dolu olamaz.
2
Boş koltuklar arasından seçilen bir koltuğun tek numaralı olma olasılığını kullanarak toplam boş koltuk sayısını hesaplamak.
Boş koltuk sayısı n(B)n(B) olsun. Tek numaralı boş koltuk sayısı 66'dır. Olasılık 6n(B)=34\frac{6}{n(B)} = \frac{3}{4} olduğundan n(B)=8n(B) = 8 bulunur.
Boş koltuklar içinden rastgele seçilen bir koltuğun numarasının tek sayı olma olasılığı, tek numaralı boş koltuk sayısının toplam boş koltuk sayısına oranına eşittir.
3
Toplam boş koltuk sayısı ile sıradaki toplam koltuk sayısını kullanarak dolu koltuk sayısını bulmak.
Dolu koltuk sayısı 12−8=412 - 8 = 4 olarak elde edilir.
Sırada toplam 12 koltuk olduğundan, dolu koltuk sayısı toplam koltuk sayısından boş koltuk sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
4
Asal sayı olasılığı bilgisini kullanarak çözümün tutarlılığını doğrulamak.
11 ile 1212 arasındaki asal sayılar {2,3,5,7,11}\{2, 3, 5, 7, 11\}'dir. Boş koltuklar kümesi içinde tek olan 44 asal sayı {3,5,7,11}\{3, 5, 7, 11\} mutlaka yer alır. Boş koltuklar arasında asal sayı olma olasılığı 48=12\frac{4}{8} = \frac{1}{2} olduğundan, çift olan 22 asal sayısı boş koltuklar kümesinde yer almamalıdır (yani dolu olmalıdır). Bu durum 44 dolu koltuk olmasıyla tamamen uyumludur.
Verilen asal sayı olasılığının (12\frac{1}{2}) sağlanabilmesi için boş koltuklar kümesinde tam olarak 4 asal sayı bulunması gerekir.

Key Concept

Basit olayların olasılığı tanımı ve örnek uzay hesaplama
Rate this question

Topics

Basit Olayların Olasılığı

More questions from this topic