Examkin

Question

Difficulty: HardKesir Problemleri

Bir boya atölyesinde A ve B marka olmak üzere iki farklı baz boya karıştırılarak özel bir renk elde edilmektedir. Başlangıçta A boyasının 14\frac{1}{4}'ü ile B boyasının 25\frac{2}{5}'si karıştırılıyor. Elde edilen bu karışıma daha sonra A boyasının kalan kısmının 13\frac{1}{3}'i ile B boyasının kalan kısmının 12\frac{1}{2}'i ekleniyor. Son durumda karışıma eklenmeyen (geriye kalan) A ve B boyalarının toplam miktarı 390390 litredir. Başlangıçtaki A boyasının miktarı B boyasının miktarının 22 katı olduğuna göre, ilk karışımda kullanılan toplam boya miktarı kaç litredir?

Answer: 270 litre

Answer

İlk karışımda kullanılan toplam boya miktarı 270 litredir.
B boyasının başlangıç miktarına xx, A boyasının miktarına 2x2x denilerek yapılan kademeli kesir işlemleri sonucunda kalan toplam boya miktarı 13x10\frac{13x}{10} olarak bulunur. Bu değer 390 litreye eşitlendiğinde x=300x = 300 elde edilir. İlk karışımda kullanılan boyaların toplamı ise x2+2x5=150+120=270\frac{x}{2} + \frac{2x}{5} = 150 + 120 = 270 litredir.

Step-by-Step Solution

1
B boyasının başlangıç miktarı xx ise A boyasının başlangıç miktarı 2x2x olarak belirlenir.
A = 2x2x, B = xx
Soruda başlangıçta A'nın B'nin 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
İlk aşamada karışıma katılan A ve B boyaları ile geriye kalan boya miktarları hesaplanır.
İlk karışıma katılan A: x2\frac{x}{2}, B: 2x5\frac{2x}{5}. Kalan A: 3x2\frac{3x}{2}, Kalan B: 3x5\frac{3x}{5}.
İlk aşamada sırasıyla 14\frac{1}{4} ve 25\frac{2}{5} oranlarında boya kullanılmıştır.
3
İkinci aşamada kalan miktarlardan karışıma eklenen boyalar hesaplanır.
Eklenen A: x2\frac{x}{2}, Eklenen B: 3x10\frac{3x}{10}.
İkinci aşamada kalan A'nın 13\frac{1}{3}'ü ve kalan B'nin 12\frac{1}{2}'si karışıma eklenmiştir.
4
Son durumda hiç kullanılmayan (artan) toplam boya miktarı cebirsel olarak ifade edilir.
Kalan A: xx, Kalan B: 3x10\frac{3x}{10}. Toplam kalan: 13x10\frac{13x}{10}.
İlk kalan miktarlardan ikinci aşamada eklenen miktarlar çıkarılır.
5
Toplam kalan boya miktarı 390 litreye eşitlenerek başlangıç değişkeni xx çözülür.
x=300x = 300 litre
Soruda son kalan boyaların toplamı 390 litre olarak verilmiştir.
6
İlk karışımda kullanılan toplam boya miktarı (x=300x = 300 için) hesaplanır.
İlk karışım = 150+120=270150 + 120 = 270 litre
İlk karışım miktarı x2+2x5\frac{x}{2} + \frac{2x}{5} ifadesinde x=300x = 300 yazılarak bulunur.

Key Concept

Kalan miktar üzerinden kesir işlemlerini uygulayarak çok adımlı birinci dereceden denklem kurma ve çözme.

Alternative Method

A ve B boyalarının başlangıç miktarları olan 2x2x ve xx yerine, paydaların en küçük ortak katı gözetilerek A = 40k40k ve B = 20k20k seçilebilir. Bu durumda işlemler kesirlerle uğraşmadan tam sayılarla kolayca yürütülebilir: A'dan ilk karışan 10k10k, kalan 30k30k, ikinci eklenen 10k10k, son kalan 20k20k olur. B'den ilk karışan 8k8k, kalan 12k12k, ikinci eklenen 6k6k, son kalan 6k6k olur. Toplam kalan 26k=390⇒k=1526k = 390 \Rightarrow k = 15 bulunur. Buradan ilk karışım 10k+8k=18k=18×15=27010k + 8k = 18k = 18 \times 15 = 270 olarak hesaplanır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kesir Problemleri

More questions from this topic