Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel Kavramı
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
(a−1)!⋅120=b!(a-1)! \cdot 120 = b!
olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. 127Answer
  2. B
    126
  3. C
    123
  4. D
    7
  5. E
    6

Answer

Verilen eşitliği sağlayan aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 127'dir.
Verilen denklem b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120 şeklinde düzenlendiğinde, 120 sayısı ardışık tam sayıların çarpımı olarak 4 farklı şekilde yazılabilir: 120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4, 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ve 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. Buradan aa değerleri 120, 4, 2 ve 1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 127'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenleyerek faktöriyellerin oranını elde etme.
b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120
İki faktöriyelli ifade arasındaki ilişkiyi daha kolay analiz etmek ve ardışık çarpanları belirlemek için denklemi oran biçiminde yazarız.
2
Oranın sonucunun 120 olabilmesi için 120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde yazma.
120 sayısı şu 4 farklı biçimde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1. 120120 (tek çarpan)
2. 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4
3. 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2
4. 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
Ardışık sayıların çarpımı biçimindeki her gösterim, b!(a−1)!\frac{b!}{(a-1)!} ifadesindeki sadeleşmeyen terimleri (yani aa'dan bb'ye kadar olan çarpanları) temsil eder.
3
Her durum için aa ve bb pozitif tam sayı değerlerini hesaplama ve aa değerlerini toplama.
1. Durum: b=120b = 120 ve a−1=119  ⟹  a=120a-1 = 119 \implies a = 120
2. Durum: b=6b = 6 ve a−1=3  ⟹  a=4a-1 = 3 \implies a = 4
3. Durum: b=5b = 5 ve a−1=1  ⟹  a=2a-1 = 1 \implies a = 2
4. Durum: b=5b = 5 ve a−1=0  ⟹  a=1a-1 = 0 \implies a = 1
Bu aa değerlerinin toplamı: 120+4+2+1=127120 + 4 + 2 + 1 = 127 olur.
Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tüm olası aa değerlerini bularak soruda istenen toplamı elde ederiz.

Key Concept

Faktöriyel kavramı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel Kavramı

More questions from this topic