x ve y birden büyük birer tam sayı olmak üzere, x! \cdot (x+1)! = y! \neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x + y toplam��nın değeri kaçtır?

x ve y birden büyük birer tam sayı olmak üzere, x! \cdot (x+1)! = y! \neşitliği sağlanmakt… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$x$ ve $y$ birden büyük birer tam sayı olmak üzere,

x! \cdot (x+1)! = y!

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x + y$ toplam��nın değeri kaçtır?

Answer: 16

İstenen toplamın değeri 16'dır.

Denklemin her iki tarafı

(x+1)!

ile bölündüğünde

x! = \frac{y!}{(x+1)!}

elde edilir. Sağ taraf ardışık çarpım olarak yazıldığında

x! = (x+2) \cdot (x+3) \dots y

olur.

x > 1

için bu eşitliği sağlayan tek değer

x = 6

olup,

6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10

eşitliğinden

y = 10

bulunur. Buradan

x + y = 16

elde edilir.

Denklemi sadeleştirme için düzenleme

x! = \frac{y!}{(x+1)!}

Faktöriyel terimlerini bölme biçiminde yazarak ardışık sayıların çarpımı ilişkisini kurmak.

Sağ tarafı ardışık çarpanlarına ayırma

x! = (x+2) \cdot (x+3) \cdot \dots \cdot y

Faktöriyel tanımı gereği ardışık iki faktöriyelin bölümü, aradaki sayıların çarpımına eşittir.

Eşitliği sağlayan x ve y değerlerini bulma

x = 6

y = 10

x=6

için

6! = 720

x+2=8

ile başlayan ardışık çarpım

8 \cdot 9 \cdot 10 = 720

olduğundan eşitlik sağlanır. Buradan

y=10

elde edilir.

Değişkenlerin toplamını hesaplama

x + y = 16

Soruda istenen

x + y

değerini bulmak için elde edilen tam sayı değerleri toplanır.

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve ardışık çarpım ilişkisi