Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde elde edilen üç basamaklı sayı, ABCABC sayısından 297297 eksiktir. Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları toplamı bir çift sayı olan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Answer: 24

Answer

Koşulları sağlayan 2424 farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Basamak çözümlemesi uygulandığında 99(A−C)=29799(A-C) = 297 yani A−C=3A-C=3 eşitliği elde edilir. Sayıların üç basamaklı olma şartından AA ve CC sıfır olamaz, bu da bize 6 adet (A,C)(A,C) ikilisi verir. A−CA-C tek sayı olduğundan A+CA+C toplamı daima tektir. Rakamlar toplamının çift olması için BB tek sayı olmalıdır. Rakamları farklılık kuralından dolayı BB rakamı, AA veya CC için seçilen tek rakamı alamaz. Bu durumda her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir ve toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı oluşturulur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC ve CBACBA sayılarının çözümlemesini yaparak aralarındaki farkı ifade ediniz.
ABC−CBA=99(A−C)=297⇒A−C=3ABC - CBA = 99(A - C) = 297 \Rightarrow A - C = 3 bulunur.
Yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde sayının değerinin 297297 azaldığı belirtilmiştir.
2
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğu için AA ve CC rakamlarının alabileceği değer ikililerini belirleyiniz.
(A,C)(A, C) ikilileri (4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6) olmak üzere 6 farklı değer alabilir.
Sayıların üç basamaklı olabilmesi için A≠0A \neq 0 ve C≠0C \neq 0 olmalıdır.
3
Rakamlar toplamının çift olması koşulunu analiz ederek BB rakamının türünü belirleyiniz.
A+B+CA + B + C toplamının çift sayı olabilmesi için BB rakamı tek sayı olmalıdır.
A−C=3A - C = 3 olduğundan AA ve CC rakamlarının biri tek diğeri çifttir. Dolayısıyla A+CA + C toplamı daima tek bir sayıdır. Toplamın çift olması için BB rakamının tek sayı olması gerekir.
4
Rakamların birbirinden farklı olma koşulunu da dikkate alarak yazılabilecek tüm ABCABC sayılarını hesaplayınız.
Her (A,C)(A, C) ikilisi için BB yerine yazılabilecek 4 farklı tek rakam bulunmaktadır. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı yazılabilir.
Normalde 5 farklı tek rakam {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} vardır. Ancak her (A,C)(A, C) ikilisinde rakamlardan biri tek olduğundan, BB rakamı bu tek rakama eşit olamaz. Bu nedenle her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir.

Key Concept

Basamak Çözümleme ve Koşullu Sayı Oluşturma
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic