Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel Kavramı
Bir AA doğal sayısı
A=10!+9!8!−7!−6!5!A = \frac{10! + 9!}{8!} - \frac{7! - 6!}{5!}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, AA sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    16
  5. E
    31

Answer

İfadeler sadeleştirildiğinde elde edilen 63 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur.
Verilen A sayısı ifadesinde faktöriyelli terimler ortak paranteze alınarak sadeleştirilir. Birinci terim 99, ikinci terim 36 olarak bulunur. Buradan A = 63 elde edilir. 63 sayısının asal çarpanları 3 ve 7 olduğundan, bu çarpanların toplamı 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin birinci terimi olan 10!+9!8!\frac{10! + 9!}{8!} kısmını sadeleştirmek için payı 9!9! parantezine alalım.
9!(10+1)8!=9!⋅118!\frac{9!(10 + 1)}{8!} = \frac{9! \cdot 11}{8!} elde edilir.
Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçük olan sayı cinsinden yazılarak ortak çarpan parantezine alınır.
2
Bulunan ifadede 9!=9⋅8!9! = 9 \cdot 8! açılımını yazarak paydadaki 8!8! ile sadeleştirelim.
9⋅11=999 \cdot 11 = 99 bulunur.
Pay ve paydadaki ortak 8!8! terimleri birbirini sadeleştirir.
3
İfadenin ikinci terimi olan 7!−6!5!\frac{7! - 6!}{5!} kısmını sadeleştirmek için payı 6!6! parantezine alalım ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! açılımını kullanarak sadeleştirelim.
6!(7−1)5!=6⋅5!⋅65!=6⋅6=36\frac{6!(7 - 1)}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36 bulunur.
Benzer şekilde büyük terimler küçük terim cinsinden yazılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
AA sayısını bulmak için elde edilen sadeleşmiş değerleri birbirinden çıkaralım.
A=99−36=63A = 99 - 36 = 63 elde edilir.
Denklemdeki çıkarma işlemi uygulanır.
5
6363 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanlarını toplayalım.
63=32⋅763 = 3^2 \cdot 7 olduğundan asal çarpanlar 3 ve 7'dir. Toplamları ise 3+7=103 + 7 = 10 olur.
AA sayısının asal çarpanlarının toplamı sorulduğu için asal çarpan analizi yapılır.

Key Concept

Faktöriyel İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme

Alternative Method

İfadeler tek tek açılmak yerine, faktöriyel tanımı gereği küçük olan terim cinsinden yazılarak doğrudan sadeleştirilebilir. Örneğin, 10! + 9! = 9! * (10 + 1) = 11 * 9! şeklinde yazılıp 8! ile sadeleştirildiğinde 11 * 9 = 99 sonucu daha hızlı elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel Kavramı

More questions from this topic