Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

n>1n > 1 bir tam sayı olmak üzere, aşağıda verilen üç farklı ardışık sayı toplamını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 100'dan başlayan ardışık ilk nn tane çift doğal sayının toplamı
  2. 211'den başlayan ardışık ilk nn tane tek sayma sayısının toplamı
  3. 322'den başlayan ardışık ilk nn tane çift sayma sayısının toplamı

Answer

Sıralama küçükten büyüğe doğru; sıfırdan başlayan ardışık ilk n tane çift doğal sayının toplamı, birden başlayan ardışık ilk n tane tek sayma sayısının toplamı ve ikiden başlayan ardışık ilk n tane çift sayma sayısın��n toplamı şeklindedir.
Sırasıyla elde edilen toplam formülleri n2−nn^2 - n, n2n^2 ve n2+nn^2 + n şeklindedir. n>1n > 1 koşulu altında bu ifadeler karşılaştırıldığında en küçük değerin sıfırdan başlayan çift doğal sayıların toplamı, ortanca değerin tek sayıların toplamı ve en büyük değerin ise ikiden başlayan çift sayıların toplamı olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Birinci toplamın genel formülünü belirleme
1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2
11'den başlayan ilk nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2 formülü ile bulunur.
2
İkinci toplamın genel formül��nü belirleme
2+4+6+⋯+2n=n(n+1)=n2+n2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1) = n^2 + n
22'den başlayan ilk nn tane ardışık çift sayının toplamı n(n+1)n(n+1) formülü ile bulunur.
3
Üçüncü toplamın genel formülünü belirleme
0+2+4+⋯+(2n−2)=n(n−1)=n2−n0 + 2 + 4 + \dots + (2n-2) = n(n-1) = n^2 - n
00 elemanı toplamı etkilemediğinden, bu toplam aslında 22'den başlayan ilk n−1n-1 tane ardışık çift sayının toplamıdır ve (n−1)n(n-1)n şeklinde ifade edilir.
4
Bulunan ifadeleri karşılaştırma
n2−n<n2<n2+nn^2 - n < n^2 < n^2 + n
n>1n > 1 pozitif tam sayısı için, her bir ifadedeki n2n^2 terimine göre yapılan çıkarma ve ekleme işlemleri büyüklük ilişkisini belirler.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülleri ve terim sayısına göre toplamın genel gösterimi

Alternative Method

nn değişkenine n>1n > 1 koşulunu sağlayan en küçük değer olan 22 verilerek her bir durum tek tek hesaplanabilir. n=2n = 2 için: Birinci toplam 1+3=41 + 3 = 4, ikinci toplam 2+4=62 + 4 = 6, üçüncü toplam 0+2=20 + 2 = 2 olur. Elde edilen değerlerin büyüklük sıralaması 2<4<62 < 4 < 6 olduğundan sıralama III < I < II şeklinde bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic