Examkin

Question

Difficulty: MediumÖnermeler ve Bağlaçlar

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

p:a⋅b>0p: a \cdot b > 0
q:b⋅c<0q: b \cdot c < 0
r:a+c=0r: a + c = 0

önermeleri veriliyor.

Buna göre, (p⇒q)∨r(p \Rightarrow q) \vee r önermesi yanlış olduğuna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    +, +, -
  2. B
    -, +, -
  3. C
    +, -, +
  4. -, -, -Answer
  5. E
    +, -, -

Answer

a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla -, -, - olmalıdır.
Verilen bileşik önermenin yanlış olabilmesi için veya bağlacı ile bağlanan her iki ifadenin de yanlış olması gerekir. Buradan p⇒qp \Rightarrow q önermesinin yanlış ve rr önermesinin yanlış olduğu görülür. Bir ise bağlacının yanlış olabilmesi için ilk önermenin doğru, ikinci önermenin ise yanlış olması gerekir. Bu durumda pp doğru, qq ise yanlış olur. Önermelerin tanımlarına göre a⋅b>0a \cdot b > 0 doğru olduğundan a ile b aynı işaretli, b⋅c<0b \cdot c < 0 yanlış olduğundan b ile c aynı işaretlidir. Dolayısıyla a, b ve c sayılarının üçünün de işareti aynı olmalıdır. Seçeneklerde üç sayının da aynı işaretli olduğu tek durum olan tüm sayıların negatif olduğu seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme
(p⇒q)∨r≡0(p \Rightarrow q) \vee r \equiv 0 olduğundan, veya bağlacının özelliğinden p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 olmalıdır.
Veya bağlacı içeren bir bileşik önermenin yanlış olabilmesi için her iki bileşenin de yanlış olması gerekir.
2
Koşullu önermenin bileşenlerini belirleme
p⇒q≡0p \Rightarrow q \equiv 0 olduğundan, ise bağlacının özelliğinden p≡1p \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0 olmalıdır.
İse bağlacının sonucunun yanlış olduğu tek durum, ilk önermenin doğru ve ikinci önermenin yanlış olması durumudur.
3
Temel önermelerin doğruluk değerlerine göre işaret analizi yapma
p≡1⇒a⋅b>0p \equiv 1 \Rightarrow a \cdot b > 0 (a ve b aynı işaretli)
q≡0⇒b⋅c≥0q \equiv 0 \Rightarrow b \cdot c \ge 0, sayılar sıfırdan farklı olduğu için b⋅c>0b \cdot c > 0 (b ve c aynı işaretli)
r≡0⇒a+c≠0r \equiv 0 \Rightarrow a + c \neq 0
Önermelerin doğruluk değerleri gerçel sayıların işaret kuralları ile eşleştirilir.
4
Bulunan işaret ilişkilerini birleştirme
a ile b aynı işaretli ve b ile c aynı işaretli olduğundan; a, b ve c sayılarının üçü de aynı işaretli olmalıdır. Yani işaretler ya (+, +, +) ya da (-, -, -) olmalıdır. Üç sayı da sıfırdan farklı ve aynı işaretli olduğundan, toplamları sıfıra eşit olamaz (a+c≠0a + c \neq 0 koşulu sağlanır). Seçeneklerde bu duruma uygun olan tek üçlü (-, -, -) şeklindedir.
Tüm koşulları aynı anda sağlayan ortak işaret durumları belirlenir.

Key Concept

Koşullu ve veya bağlaçlarının doğruluk değerleri ile gerçel sayıların işaret özellikleri arasındaki ilişki
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic