Examkin

Question

Difficulty: Very hardArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir kitabın sayfaları 1'den başlanarak ardışık doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kitaptan ardışık birkaç yaprak yırtılmıştır. Yırtılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı 196, geriye kalan sayfaların numaralarının toplamı ise 3044'tür.

Buna göre, yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa ile yırtılan yaprak sayısının toplamı kaçtır?

  1. A
    30
  2. 32Answer
  3. C
    34
  4. D
    36
  5. E
    38

Answer

Yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa 28, yırtılan yaprak sayısı ise 4'tür. Bu iki değerin toplamı 32'dir.
Kitabın toplam sayfa sayısı 80 olarak hesaplanır. Yırtılan xx yaprak için sayfa numaralarının toplamı x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 denklemini verir. Bu denklemin pozitif tam sayılardaki tek çözümü x=4x = 4 ve m=11m = 11 şeklindedir. Dolayısıyla yırtılan sayfalar 21 ile 28 arasındadır. En büyük yırtılan sayfa numarası 28, yırtılan yaprak sayısı 4 olup toplamları 32'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kitabın toplam sayfa sayısının bulunması
Kitabın başlangıçtaki tüm sayfalarının numaraları toplamı Stoplam=3044+196=3240S_{toplam} = 3044 + 196 = 3240 olur. NN sayfa sayısı olmak üzere N(N+1)2=3240  ⟹  N(N+1)=6480\frac{N(N+1)}{2} = 3240 \implies N(N+1) = 6480 denkleminden N=80N = 80 bulunur.
Yırtılan sayfalar ile kalan sayfaların toplamı kitabın orijinal sayfa sayısının toplamını verir.
2
Yaprak yırtılma kuralının modellenmesi
Bir kitaptan yaprak yırtıldığında, her yaprakta önlü arkalı iki sayfa bulunur ve bu sayfalar daima sırasıyla bir tek ve bir çift sayıdan oluşur (2m−12m-1 ve 2m2m). Ardışık xx tane yaprak yırtıldığında yırtılan sayfa sayısı 2x2x olur ve bu sayfalar 2m−12m-1 ile başlar, 2m+2x−22m + 2x - 2 ile biter.
Kitap yapraklarının sayfa numaralandırma yapısı ardışık sayıların başlangıç karakterini belirler.
3
Yırtılan sayfa numaraları toplamı denkleminin kurulması ve çözülmesi
Yırtılan sayfaların toplamı: x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 olur. Burada xx ve mm pozitif tam sayılardır. 196'nın çarpanları incelendiğinde sadece x=4x = 4 değeri için 4m+5=49  ⟹  4m=44  ⟹  m=114m + 5 = 49 \implies 4m = 44 \implies m = 11 tam sayı çözümü elde edilir.
Yırtılan yaprakların sayfa numaraları toplamı verilmiştir, bu bağıntıdan tekil tam sayı çözümü elde edilir.
4
İstenen toplamın hesaplanması
Yırtılan yaprak sayısı x=4x = 4'tür. Yırtılan sayfalar m=11m=11 için 21. sayfadan başlayıp 28. sayfada biter. En büyük sayfa numarası 28'dir. İstenen toplam: 28+4=3228 + 4 = 32 olarak hesaplanır.
En büyük sayfa numarası ile yırtılan yaprak sayısının toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve kitap sayfası-yaprak ilişkisinin modellenmesi

Alternative Method

Yırtılan sayfaların aritmetik ortalaması 1962x=98x\frac{196}{2x} = \frac{98}{x} olur. Ardışık 2x2x tane tam sayının ortalaması bir buçuklu (yani .5.5 ile biten) bir sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx sayısı 9898'i bölen ama ortalamayı buçuklu yapan bir sayı olmalıdır. Buradan x=4x = 4 için ortalama 24.524.5 olur. Ortalaması 24.524.5 olan 8 ardışık sayı 21,22,23,24,25,26,27,2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28'dir. En büyük sayfa 28, yaprak sayısı 4 olduğundan toplamları 28+4=3228 + 4 = 32 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic