Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir nn pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı P(n)P(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
P(n)+P(n+1)=18P(n) + P(n+1) = 18
eşitliğini sağlayan kaç farklı nn değeri vardır?

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.
Toplamları 18 olan asal sayı ikilileri {5, 13} veya {7, 11} olabilir. Bu durumlara uyan ve n ile n+1 ardışık sayılarının en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan iki basamaklı n sayıları sırasıyla 21, 25, 39, 55, 90 ve 98 olmak üzere 6 adettir.

Step-by-Step Solution

1
Toplamları 18 olan asal sayı çiftlerinin belirlenmesi
Asal sayılar kümesi düşünüldüğünde, toplamları 18 olan asal sayı ikilileri sadece {5, 13} ve {7, 11} olabilir.
P(n) ve P(n+1) değerleri birer asal sayı olmak zorundadır.
2
P(n) = 5 ve P(n+1) = 13 durumunun çözülmesi
n = 25 ve n = 90 elde edilir.
n+1 sayısının 100'den küçük ve en büyük asal çarpanı 13 olan katları incelenir: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Bu sayıların 1 eksiği olan n değerleri içinden en büyük asal çarpanı 5 olanlar (25 ve 90) seçilir.
3
P(n) = 13 ve P(n+1) = 5 durumunun çözülmesi
n = 39 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır. İki basamaklı 13'ün katları içinden n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 5 olan durum n = 39 (n+1 = 40) olarak bulunur.
4
P(n) = 7 ve P(n+1) = 11 durumunun çözülmesi
n = 21 ve n = 98 elde edilir.
n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 eksiği olan n sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 21 (n+1 = 22) ve n = 98 (n+1 = 99) değerleri bulunur.
5
P(n) = 11 ve P(n+1) = 7 durumunun çözülmesi
n = 55 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 fazlası olan n+1 sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 55 (n+1 = 56) değeri bulunur.

Key Concept

Asal sayılar ve asal çarpanlar yardımıyla denklem çözme
Rate this question

Topics

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic