Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir nn pozitif tam sayısının asal çarpanlarının en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark Δ(n)\Delta(n) ile gösterilmektedir.

Örneğin; 60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 olduğundan Δ(60)=5−2=3\Delta(60) = 5 - 2 = 3'tür.

Buna göre, iki basamaklı bir nn doğal sayısı için
Δ(n)=8\Delta(n) = 8
eşitliğini sağlayan tüm nn sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    98
  2. B
    132
  3. 197Answer
  4. D
    217
  5. E
    35

Answer

Koşulu sağlayan tüm iki basamaklı sayıların toplamı 197'dir.
Koşulu sağlayan iki basamaklı nn sayıları 3333, 6565 ve 9999 olup bu sayıların toplamı 197197'dir. Bu değer doğru seçenekte verilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Tanıma göre, Δ(n)=8\Delta(n) = 8 eşitliği nn sayısının en büyük asal çarpanı (pmaxp_{max}) ile en küçük asal ��arpanı (pminp_{min}) arasındaki farkın 88 olmasını gerektirir: pmax−pmin=8p_{max} - p_{min} = 8.
pmax−pmin=8p_{max} - p_{min} = 8 eşitliğini sağlayan asal sayı çiftleri belirlenmelidir.
Hangi asal sayıların bu şartı sağladığını bularak olası çarpan kümelerini sınırlandırmak için.
2
Farkları 88 olan asal sayı çiftlerini küçükten büyüğe inceleyelim: (3,11)(3, 11), (5,13)(5, 13), (11,19)(11, 19), (23,31)(23, 31), (29,37)(29, 37) vb. En küçük asal sayı olan 22 seçilirse diğer çarpanın 1010 olması gerekir ki bu asal değildir.
Olası asal çarpan sınırları (3,11)(3, 11), (5,13)(5, 13) ve daha büyük çiftlerdir.
nn sayısının çarpanı olabilecek en küçük ve en büyük asal sayıları tespit etmek için.
3
nn sayısının iki basamaklı (10≤n≤9910 \le n \le 99) bir doğal sayı olduğu verilmiştir. nn sayısı hem pminp_{min} hem de pmaxp_{max} asal sayılarına tam bölünmelidir. Dolayısıyla nn sayısı pmin⋅pmaxp_{min} \cdot p_{max} çarpımının bir katı olmalıdır. Bu durumda pmin⋅pmax≤99p_{min} \cdot p_{max} \le 99 şartı aranmalıdır.
(11,19)(11, 19) çifti için en küçük sayı 11⋅19=209>9911 \cdot 19 = 209 > 99 olduğundan bu ve daha büyük çiftlerden iki basamaklı sayı elde edilemez. Yalnızca (3,11)(3, 11) ve (5,13)(5, 13) çiftleri incelenebilir.
İki basamaklı olma sınırını kullanarak olası durum sayısını daraltmak için.
4
(3,11)(3, 11) çifti için nn sayısının asal çarpanları en küçük 33, en büyük 1111 olmalıdır. Bu aradaki diğer asallar (55 ve 77) çarpan olarak eklenirse sayı 3⋅11⋅5=165>993 \cdot 11 \cdot 5 = 165 > 99 olacağından iki basamaklı kalamaz. O halde n=3a⋅11bn = 3^a \cdot 11^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) formunda olmalıdır. Bu şartı sağlayan iki basamaklı sayılar: a=1,b=1a=1, b=1 için 3333 ve a=2,b=1a=2, b=1 için 9999 sayılarıdır.
(3,11)(3, 11) çiftinden 3333 ve 9999 sayıları elde edilir.
En küçük ve en büyük asal çarpanı sırasıyla 33 ve 1111 olan tüm iki basamaklı sayıları bulmak için.
5
(5,13)(5, 13) çifti için nn sayısının asal çarpanları en küçük 55, en büyük 1313 olmalıdır. n=5a⋅13bn = 5^a \cdot 13^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) formunda olmalıdır. a=1,b=1a=1, b=1 için 5⋅13=655 \cdot 13 = 65 elde edilir. Herhangi bir üs artırılırsa sayı iki basamaklı sınırını aşar (25⋅13=325>9925 \cdot 13 = 325 > 99 gibi).
(5,13)(5, 13) çiftinden yalnızca 6565 sayısı elde edilir.
En küçük ve en büyük asal çarpanı sırasıyla 55 ve 1313 olan tüm iki basamaklı sayıları bulmak için.
6
Bulunan tüm iki basamaklı sayıları toplayalım: 33+65+9933 + 65 + 99.
Toplam 197197 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen tüm uygun nn değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Bir tam sayının en küçük ve en büyük asal çarpanlarının belirlenmesi ve bu çarpanların kuvvetleriyle oluşturulabilecek sayı sınırlarının analiz edilmesi.

Alternative Method

Asal sayıların farkı 8 olan çiftleri doğrudan listelenip her bir çiftin en küçük iki basamaklı katı kontrol edilebilir. pmin⋅pmaxp_{min} \cdot p_{max} çarpımının iki basamaklı katları doğrudan incelenerek de aynı sayılara hızlıca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic