Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma
Bir xx pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının kümesi A(x)A(x) ile gösterilmektedir. Örneğin; 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 olduğundan A(18)={2,3}A(18) = \{2, 3\} kümesidir. aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere, A(a)∪A(b)={2,3,5}A(a) \cup A(b) = \{2, 3, 5\} A(a)∩A(b)={3}A(a) \cap A(b) = \{3\} olduğu bilinmektedir. Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının pozitif bölen sayısı en az kaçtır?

Answer: 12

Answer

a ve b sayılarının çarpımının pozitif bölen sayısı en az 12'dir.
Verilen küme işlemlerine göre hem a hem de b sayıları 3 asal çarpanına sahiptir; bu da a * b çarpımında 3'ün üssünün en az 2 olmasını gerektirir. 2 ve 5 asalları da çarpımda en az 1'er kez yer alacağı için a * b = 2^1 * 3^2 * 5^1 durumunda pozitif bölen sayısı (1 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 12 olarak en küçük değerine ulaşır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim ve birleşim kümelerinden yararlanarak asal çarpanları belirleme
Hem a hem de b sayısının asal çarpanları arasında 3 bulunur. 2 ve 5 asallarından biri sadece a'da, diğeri ise sadece b'dedir.
Kesişim kümesinin {3} ve birleşim kümesinin {2, 3, 5} olması, 3 asalının ortak olduğunu; 2 ve 5 asallarının ise ortak olmadan sayılara dağıldığını gösterir.
2
a * b çarpımının asal çarpanlarının üslerinin alt sınırlarını bulma
a * b = 2^p * 3^q * 5^r yazımında p >= 1, q >= 2 ve r >= 1 olmalıdır.
3 asalı her iki sayıda da en az 1'er kez bulunduğu için çarpımda en az 3^2 elde edilir. 2 ve 5 ise en az 1'er kez bulunmak zorundadır.
3
Pozitif bölen sayısı formülünü uygulayarak en küçük değeri hesaplama
Pozitif bölen sayısı en az (1 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 12 olur.
Pozitif bölen sayısını minimum yapmak için asal çarpanların üsleri en küçük değerleri olan p = 1, q = 2 ve r = 1 olarak seçilir.

Key Concept

Asal çarpanlar, küme kesişim/birleşim işlemleri ve pozitif bölen sayısı formülü
Rate this question

Topics

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic