Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir öğretmen, tahtaya yazılı olan ardışık nn tane pozitif tam sayının toplamını hesaplamak istemektedir. Ancak öğrencilerden biri tahtadaki sayılardan en küçüğünü ve en büyüğünü siliyor. Geriye kalan sayıların toplamı 180180 oluyor.

Buna göre, nn iki basamaklı bir doğal sayı ise nn sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Answer: 38

Answer

İki basamaklı nn değerlerinin toplamı 38'dir.
Kalan sayıların toplam formülünden elde edilen (2x+n−1)(n−2)=360(2x+n-1)(n-2) = 360 denkleminde çarpanların tek/çiftlik durumları ve x≥1x \geq 1 koşulu incelendiğinde, nn sayısının alabileceği iki basamaklı değerlerin 10, 11 ve 17 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı 38'i verir.

Step-by-Step Solution

1
Kalan terimlerin ifadesini ve terim sayısını belirleme
Başlangıçtaki sayılar xx ile başlayıp x+n−1x+n-1 ile sonlanır. En küçük ve en büyük terimler silindiğinde geriye kalan terimler x+1x+1 ile x+n−2x+n-2 arasında olup terim sayısı n−2n-2'dir.
Toplam formülünü kalan sayılar üzerinden oluşturabilmek için ilk terim, son terim ve terim sayısını belirlememiz gerekir.
2
Kalan sayıların toplam denklemini kurma ve sadeleştirme
(x+1)+(x+n−2)2⋅(n−2)=180  ⟹  (2x+n−1)(n−2)=360\frac{(x+1) + (x+n-2)}{2} \cdot (n-2) = 180 \implies (2x+n-1)(n-2) = 360 denklemi elde edilir.
Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyenler arasındaki cebirsel ilişkiyi bulmak için.
3
Çarpan analizi ile uygun nn değerlerini tespit etme
2x+n−12x+n-1 ve n−2n-2 çarpanlarının farkı 2x+12x+1 (tek sayı) olduğundan, 360'ın çarpan çiftlerinden biri tek diğeri çift olmalıdır. Buradan nn değerleri 3,5,7,10,11,173, 5, 7, 10, 11, 17 bulunur.
xx'in pozitif tam sayı olma koşuluna bağlı olarak denklemi sağlayan tüm olası tam sayı çözümlerini bulmak için.
4
İki basamaklı nn değerlerini seçip toplama
İki basamaklı olan nn değerleri 10,1110, 11 ve 1717 olup, toplamları 10+11+17=3810 + 11 + 17 = 38 olur.
Soruda sadece iki basamaklı nn doğal sayı değerlerinin toplamı istendiği için.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Toplamları
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic