Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc tam sayıları için
a⋅(b+c)a \cdot (b + c)
ve
b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. a⋅c+ba \cdot c + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız II
  2. Yalnız IAnswer
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Yalnız I
Doğru cevap 'Yalnız I' ifadesidir. Yapılan ayrıntılı durum analizlerinde, her iki senaryoda da üçüncü değişkenin tek sayı olduğu, ilk iki değişkenden birinin tek, diğerinin ise çift sayı olduğu görülmüştür. Bu durumda, üç sayının toplamı bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olmaktadır. İki tek sayının toplamı çift olduğundan, sonuçta iki çift sayının toplamından elde edilen değer her zaman çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumlarına göre olası iki senaryoyu belirleme.
Durum 1: a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin tek, b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin çift olması. Durum 2: a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin çift, b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin tek olması.
Soruda ifadelerden birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir.
2
Durum 1'i (a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ��ift) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek ise aa tek ve b+cb + c tek olmalıdır. b+cb + c tek ise bb ve cc zıt paritededir (biri tek, diğeri çift). Eğer bb tek olsaydı, cc çift olurdu. Bu durumda a+ca + c toplamı tek olacağından b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki bb çift ve cc tek olmalıdır. Sonuç olarak: aa tek, bb çift, cc tektir.
Çarpımın tek olması için her iki çarpanın da tek olması gerektiği bilgisinden başlanarak çelişkisiz durum elde edilir.
3
Durum 2'yi (a⋅(b+c)a \cdot (b + c) çift ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) tek) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) tek ise bb tek ve a+ca + c tek olmalıdır. a+ca + c tek ise aa ve cc zıt paritededir. Eğer aa tek olsaydı, cc çift olurdu. Bu durumda b+cb + c toplamı tek olacağından a⋅(b+c)a \cdot (b + c) çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki aa çift ve cc tek olmalıdır. Sonuç olarak: aa çift, bb tek, cc tektir.
İkinci durumda tek olan çarpımın çarpanlarının analizi ile tutarlı değişken değerleri belirlenir.
4
Her iki durumun ortak sonuçlarını çıkararak öncülleri değerlendirme.
Her iki durumda da cc tek sayıdır; aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Buna göre:
- I. a+b+ca + b + c toplamı: Biri çift, ikisi tek olan üç sayının toplamı her zaman çift sayıdır (T + Ç + T = Ç).
- II. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi: aa ve bb sayılarından biri çift olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı çift olup, buna tek olan cc eklendiğinde sonuç her zaman tek sayıdır (Ç + T = T).
- III. a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi: Durum 1 için T · T + Ç = T, Durum 2 için Ç · T + T = T olup her iki durumda da tek sayıdır.
Her iki durumdan elde edilen ortak özellikler yardımıyla öncüllerin teklik-çiftlik durumları kesinleştirilir.

Key Concept

Tek ve çift tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri, çarpımın teklik şartı.
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic