Ardışık pozitif tam sayıların toplamları üzerine araştırma yapan bir matematikçi, bazı say… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Ardışık pozitif tam sayıların toplamları üzerine araştırma yapan bir matematikçi, bazı sayıların birden fazla şekilde ardışık sayıların toplamı olarak yazılabildiğini fark etmiştir. Bu doğrultuda aşağıdaki üç sayıyı incelemeye alıyor:

* I. Sayı: $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$
* II. Sayı: $3^3 \cdot 5^2$
* III. Sayı: $2^8 \cdot 7^1$

Bu sayıların her birinin, en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı şeklinde kaç farklı biçimde yazılacağını hesaplıyor. I. sayı için bulduğu değer $x$ , II. sayı için $y$ ve III. sayı için $z$ 'dir.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

1 $z$ (III. sayının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılma sayısı)
2 $x$ (I. sayının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılma sayısı)
3 $y$ (II. sayının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplam�� şeklinde yazılma sayısı)

Answer

z < x < y

Doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir. Çünkü bir

S

pozitif tam sayısının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılma sayısı,

S

'nin kendisinden büyük olmayan tek bölenlerinin sayısının 1 eksiğine (yani

d_{\text{tek}}(S) - 1

) eşittir. Bu kurala göre hesaplandığında

z = 1

x = 5

y = 11

değerleri elde edilir.

Step-by-Step Solution

Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme kuralını belirleme.

Bir

S

sayısının

k

terimli ardışık pozitif tam sayıların toplamı şeklinde yazılması

S = \frac{k(2a + k - 1)}{2} \implies 2S = k(2a + k - 1)

denklemini verir. Burada

k

2a + k - 1

çarpanlarından biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla, her farklı yazım biçimi

S

sayısının 1'den büyük bir tek bölenine karşılık gelir. Yani yazım sayısı

d_{\text{tek}}(S) - 1

formülü ile bulunur.

Ardışık toplam problemlerinde terim sayısı ve başlangıç terimi ilişkisini çarpanlara ayırma prensibiyle analiz etmek gerekir.

I. sayı (

2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1

) için

x

değerini hesaplama.

I. sayının tek asal çarpanları 3 ve 5'tir. Tek bölenlerinin sayısı

(2+1)(1+1) = 6

'dır. En az iki terimli olma şartı nedeniyle 1'den büyük tek bölenleri almalıyız. Buradan

x = 6 - 1 = 5

bulunur.

Çift çarpan olan 2'nin kuvveti tek bölen sayısını etkilemez.

II. sayı (

3^3 \cdot 5^2

) için

y

değerini hesaplama.

II. sayı zaten tektir. Tüm bölenleri tektir ve sayısı

(3+1)(2+1) = 12

'dir. Buradan

y = 12 - 1 = 11

bulunur.

Tamamı tek çarpanlardan oluşan sayıların tüm pozitif bölenleri tek bölendir.

III. sayı (

2^8 \cdot 7^1

) için

z

değerini hesaplama.

III. sayının tek asal çarpanı sadece 7'dir. Tek bölenlerinin sayısı

(1+1) = 2

'dir (bunlar 1 ve 7'dir). Buradan

z = 2 - 1 = 1

bulunur.

Sadece 7'ye bağlı tek bölenler hesaplanır.

Elde edilen

x

y

z

değerlerini karşılaştırma ve sıralama.

z = 1

x = 5

y = 11

olduğundan küçükten büyüğe sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Bulunan değerlerin sayısal büyüklükleri karşılaştırılarak nihai sıralama oluşturulur.

Key Concept

Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme sayısı ile o sayının tek bölenlerinin sayısı arasındaki ilişki.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic