Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel Kavramı
xx ve yy pozitif tam sayılardır.
10!+9!8!=3x⋅y\frac{10! + 9!}{8!} = 3^x \cdot y
olduğuna göre, yy sayısının alabileceği en küçük değer için xx kaçtır?
  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6

Answer

En küçük pozitif tam sayı olan 11 değeri için aranan değer 2'dir.
Verilen rasyonel ifadenin payı 9!9! parantezine alınıp paydadaki 8!8! ile sadeleştirildiğinde 99 sayısı elde edilir. 99=32⋅1199 = 3^2 \cdot 11 olduğundan, yy pozitif tam sayısının en küçük değeri için y=11y = 11 ve x=2x = 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki 10!+9!10! + 9! ifadesini ortak çarpan parantezine alma
10!=10⋅9!10! = 10 \cdot 9! olduğu için ifade 9!⋅(10+1)=11⋅9!9! \cdot (10 + 1) = 11 \cdot 9! şeklinde yazılır.
Toplama işlemini çarpanlarına ayırarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek.
2
Elde edilen ifadeyi paydadaki 8!8! ile sadeleştirme
11⋅9!8!=11⋅9⋅8!8!=11⋅9=99\frac{11 \cdot 9!}{8!} = 11 \cdot \frac{9 \cdot 8!}{8!} = 11 \cdot 9 = 99 bulunur.
Kesirli ifadeyi tam sayı haline getirmek.
3
99 sayısını asal çarpanlarına ayırma ve değişkenleri belirleme
99=9⋅11=32⋅1199 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11 elde edilir. Bu durumda 32⋅11=3x⋅y3^2 \cdot 11 = 3^x \cdot y eşitliği sağlanır. yy sayısının alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri için y=11y = 11 seçilmelidir, bu durumda x=2x = 2 olur.
yy değerini en küçük tutarak 3x3^x ifadesinin çarpan gücünü maksimize etmek.

Key Concept

Faktöriyelli İfadelerde Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme ile Asal Çarpanlara Ayırma
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel Kavramı

More questions from this topic