Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b eşitsizliği sağlanmaktadır.

xx değişkenine bağlı
ax−bb≥bx−aa\frac{a x - b}{b} \geq \frac{b x - a}{a}

eşitsizliğiyle ilgili;

I. a+b>0a + b > 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi [0,∞)[0, \infty) aralığıdır.
II. a+b<0a + b < 0 ise eşitsizliğin en büyük xx tam sayı değeri −1-1'dir.
III. a2<b2a^2 < b^2 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx doğal sayısı 00'dır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    II ve III

Answer

I ve III
Eşitsizlik sadeleştirildiğinde (a2−b2ab)x≥0\left(\frac{a^2 - b^2}{ab}\right)x \geq 0 elde edilir. Burada a<0<ba < 0 < b olduğundan payda ab<0ab < 0 negatiftir. a+b>0a+b > 0 (veya buna eş değer olarak a2<b2a^2 < b^2) durumunda pay a2−b2<0a^2 - b^2 < 0 negatif olur, bu da katsayının pozitif olmasını sağlar. Katsayı pozitif olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez ve x≥0x \geq 0 elde edilir. Bu durum birinci öncüldeki [0,∞)[0, \infty) aralığını doğrular. Aynı koşul altında, bu aralıktaki en küçük doğal sayı 00 olduğundan üçüncü öncül de kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde ise a+b<0a+b < 0 iken x≤0x \leq 0 elde edilir ve bu kümenin en büyük tam sayı elemanı 00 olup öncül yanlıştır. Dolayısıyla sadece birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her iki yanındaki ifadeleri sadeleştirip x parantezine alın.
abx−1≥bax−1  ⟹  abx≥bax  ⟹  (ab−ba)x≥0\frac{a}{b}x - 1 \geq \frac{b}{a}x - 1 \implies \frac{a}{b}x \geq \frac{b}{a}x \implies \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)x \geq 0
Eşitsizliği daha sade bir biçimde analiz etmek ve x'in katsayısını belirlemek için.
2
Parantez içindeki ifadenin paydalarını eşitleyip katsayıyı bulun.
(a2−b2ab)x≥0\left(\frac{a^2 - b^2}{ab}\right)x \geq 0
x'in katsayısının işaretini belirlemek amacıyla ortak paydada yazmamız gerekir.
3
Paydadaki abab ifadesinin işaretini belirleyin.
a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğu için ab<0ab < 0 olur.
Paydanın işareti, toplam katsayının işaretini belirlemede kritik bir rol oynar.
4
Birinci ve üçüncü öncüller için a+b>0a + b > 0 (yani a2<b2a^2 < b^2) durumunu inceleyin.
a2<b2  ⟹  a2−b2<0a^2 < b^2 \implies a^2 - b^2 < 0 olur. Bu durumda, katsayının payı negatif (a2−b2<0a^2 - b^2 < 0) ve paydası da negatiftir (ab<0ab < 0). Dolayısıyla katsayı pozitif olur: a2−b2ab>0\frac{a^2 - b^2}{ab} > 0. Pozitif bir katsayı ile çarpılan eşitsizlikte yön değişmez ve x≥0x \geq 0 elde edilir. Çözüm kümesi [0,∞)[0, \infty) aralığıdır. En küçük doğal sayı çözümü ise 00'dır. Yani I ve III. öncüller doğrudur.
Verilen koşullara göre eşitsizliğin yönünü ve çözüm kümesini netleştirmek için.
5
İkinci öncül için a+b<0a + b < 0 (yani a2>b2a^2 > b^2) durumunu inceleyin.
a2>b2  ⟹  a2−b2>0a^2 > b^2 \implies a^2 - b^2 > 0 olur. Katsayının payı pozitif, paydası negatif olduğundan katsayı negatif olur: a2−b2ab<0\frac{a^2 - b^2}{ab} < 0. Negatif katsayıya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir ve x≤0x \leq 0 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri −1-1 değil, 00'dır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
İkinci öncülün doğruluğunu test etmek için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme işlemlerinde yön değiştirme kuralı ve parametrik katsayı analizi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic