Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Ardışık tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA kümesi ardışık 7 tam sayıdan oluşmaktadır.
* BB kümesi ardışık 6 tam sayıdan oluşmaktadır.
* AA kümesindeki elemanların toplamı, BB kümesindeki elemanların toplamına eşittir.
* AA kümesinin en büyük elemanı, BB kümesinin en küçük elemanından 7 fazladır.

Buna göre, AA kümesinin en küçük elemanı kaçtır?

  1. A
    −13-13
  2. −12-12Answer
  3. C
    −6-6
  4. D
    66
  5. E
    1212

Answer

−12-12
Doğru seçenekte verilen değer, kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden elde edilen a=−12a = -12 değeridir. Bu değer AA kümesinin en küçük elemanını tam olarak karşılar.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin elemanlarını en küçük elemanları cinsinden tanımlayalım.
AA kümesinin en küçük elemanı aa olsun. Küme ardışık 7 tam sayıdan oluştuğu için elemanları: A={a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6}A = \{a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6\} olur.

BB kümesinin en küçük elemanı bb olsun. Küme ardışık 6 tam sayıdan oluştuğu için elemanları: B={b,b+1,b+2,b+3,b+4,b+5}B = \{b, b+1, b+2, b+3, b+4, b+5\} olur.
Soruda verilen toplam ve eleman ilişkilerini matematiksel olarak ifade edebilmek için elemanları değişkenler cinsinden tanımlamamız gerekir.
2
Kümelerin elemanları toplamını hesaplayıp birbirine eşitleyelim.
AA kümesinin elemanları toplamı:
TA=7a+(1+2+3+4+5+6)=7a+21T_A = 7a + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7a + 21

BB kümesinin elemanları toplamı:
TB=6b+(1+2+3+4+5)=6b+15T_B = 6b + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6b + 15

Toplamlar eşit olduğuna göre:
7a+21=6b+15  ⟹  7a−6b=−67a + 21 = 6b + 15 \implies 7a - 6b = -6
Soruda her iki kümenin elemanları toplamının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kümelerin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki ilişkiyi kullanarak ikinci denklemi kuralım.
AA kümesinin en büyük elemanı a+6a+6 ve BB kümesinin en küçük elemanı bb'dir.

Verilen bilgiye göre:
(a+6)−b=7  ⟹  b=a−1(a+6) - b = 7 \implies b = a - 1
AA'nın en büyük elemanının, BB'nin en küçük elemanından 7 fazla olduğu bilgisi verilmiştir.
4
Elde ettiğimiz iki denklemi ortak çözelim.
7a−6b=−67a - 6b = -6 denkleminde b=a−1b = a - 1 yazalım:

7a−6(a−1)=−67a - 6(a-1) = -6
7a−6a+6=−67a - 6a + 6 = -6
a+6=−6  ⟹  a=−12a + 6 = -6 \implies a = -12

Böylece AA kümesinin en küçük elemanı −12-12 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aradığımız en küçük eleman olan aa değerini buluruz.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve ardışık terimler arasındaki fark ilişkilerini kullanarak denklem kurma ve çözme.

Alternative Method

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. AA kümesinin ortanca terimi a+3a+3, BB kümesinin ortanca terimi ise b+2.5b+2.5 olur. Toplamların eşitliğinden 7(a+3)=6(b+2.5)  ⟹  7a+21=6b+157(a+3) = 6(b+2.5) \implies 7a + 21 = 6b + 15 denklemi pratik olarak kurulabilir.
Estimated Time:1m 40s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic