Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Birbirinden farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değişkenine bağlı
x−ba≥x−ab \frac{x - b}{a} \geq \frac{x - a}{b}
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    [a+b,∞)[a + b, \infty)
  2. B
    (−∞,a+b)(-\infty, a + b)
  3. (−∞,a+b](-\infty, a + b]Answer
  4. D
    (−∞,b−a](-\infty, b - a]
  5. E
    (−∞,−a−b](-\infty, -a - b]

Answer

En geniş çözüm kümesi (−∞,a+b](-\infty, a + b] aralığıdır.
Verilen eşitsizlikte paydalardan kurtulmak için her iki taraf a⋅ba \cdot b ile çarpılır. a<0<ba < 0 < b olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı negatiftir ve eşitsizlik yön değiştirerek ≤\leq hâlini alır. Dağılma özelliği uygulandıktan sonra değişkenler bir tarafa toplandığında (b−a)x≤b2−a2(b-a)x \leq b^2 - a^2 elde edilir. Sağ taraftaki iki kare farkı (b−a)(b+a)(b-a)(b+a) şeklinde açılır. Her iki taraf, b>ab > a olduğu için pozitif olan b−ab-a ifadesine bölünür. Bölünen değer pozitif olduğundan yön değişmez ve x≤a+bx \leq a+b bulunur. Bu durum en geniş çözüm kümesinin (−∞,a+b](-\infty, a + b] olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her iki tarafını paydaları yok etmek amacıyla a⋅ba \cdot b ile çarpmak.
b(x−b)≤a(x−a)b(x - b) \leq a(x - a)
a<0<ba < 0 < b olduğundan a⋅b<0a \cdot b < 0 (negatif) olur. E��itsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığından yön değiştirerek ≥\geq sembolü ≤\leq sembolüne dönüşür.
2
Parantezleri dağıtarak ifadeyi düzenlemek ve değişkenleri sol tarafa toplamak.
(b−a)x≤b2−a2(b - a)x \leq b^2 - a^2
bx−b2≤ax−a2bx - b^2 \leq ax - a^2 ifadesinde axax sola, −b2-b^2 sağa işaret değiştirerek geçer.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak sağ tarafı çarpanlarına ayırmak.
(b−a)x≤(b−a)(b+a)(b - a)x \leq (b - a)(b + a)
b2−a2b^2 - a^2 ifadesi (b−a)(b+a)(b - a)(b + a) şeklinde yazılabilir.
4
Her iki tarafı b−ab - a ifadesine bölerek xx değişkenini yalnız bırakmak.
x≤a+bx \leq a + b
a<0<ba < 0 < b olduğundan b>a  ⟹  b−a>0b > a \implies b - a > 0 (pozitif) olur. Pozitif bir ifadeye bölme yapıldığından eşitsizlik yön değiştirmez.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic