Examkin

Question

Difficulty: HardÖnermeler ve Bağlaçlar

x,yx, y ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,

p:x⋅y+zp: x \cdot y + z sayısı tektir.

q:x+yq: x + y sayısı çifttir.

r:y⋅zr: y \cdot z sayısı çifttir.

önermeleri veriliyor.

(p∧q′)∨r(p \land q') \lor r

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre; I, II ve III ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

I. x+y+zx + y + z toplamı tektir.
II. x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı çifttir.
III. xy+zx^y + z toplamı çifttir.

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    II ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.
Verilen bileşik önermenin yanlış olması için r≡0r \equiv 0 ve p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 olmalıdır. r≡0r \equiv 0 olmasından yy ve zz sayılarının tek olduğu bulunur. p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 durumunda xx çift olsaydı çelişki oluşacağından xx sayısının da tek olduğu belirlenir. xx, yy ve zz tek sayılar olduğuna göre, üçünün toplamı tek (I. ifade doğru), çarpımları tek (II. ifade yanlış) ve xy+zx^y + z toplamı çift (III. ifade doğru) olur. Bu durumda doğru yanıt birinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme
r≡0r \equiv 0 ve p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 elde edilir.
Veya (∨\lor) bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucu yanlış (00) ise, her iki bileşenin de yanlış olması gerekir. Dolayısıyla, r≡0r \equiv 0 ve p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 olmalıdır.
2
yy ve zz sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleme
yy ve zz sayılarının her ikisi de tek sayıdır.
r:y⋅zr: y \cdot z çifttir önermesi yanlış olduğuna göre (r≡0r \equiv 0), y⋅zy \cdot z çarpımı tek sayı olmalıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
3
xx sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme
xx sayısı tek sayıdır.
p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 olmalıdır. Eğer xx çift olsaydı: q:x+yq: x + y toplamı çift + tek = tek olacağından q≡0q \equiv 0 ve q′≡1q' \equiv 1 olurdu. Bu durumda p:x⋅y+zp: x \cdot y + z ifadesi çift ⋅\cdot tek + tek = çift + tek = tek olacağından p≡1p \equiv 1 olurdu. Buradan p∧q′≡1∧1≡1p \land q' \equiv 1 \land 1 \equiv 1 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla xx tek olmalıdır. xx tek olduğunda, q:tek+tek=c\cift  ⟹  q≡1  ⟹  q′≡0q: tek + tek = çift \implies q \equiv 1 \implies q' \equiv 0 olur ve p∧q′≡0p \land q' \equiv 0 koşulu sağlanır.
4
Öncülleri tek tek değerlendirme
I ve III. öncüller doğru, II. öncül yanlıştır.
xx, yy ve zz sayılarının tamamı tek sayıdır. Buna göre:
I. x+y+z=tek+tek+tek=tekx + y + z = tek + tek + tek = tek (Doğru)
II. x⋅y⋅z=tek⋅tek⋅tek=tekx \cdot y \cdot z = tek \cdot tek \cdot tek = tek (Çift değildir, Yanlış)
III. xx tek ve yy pozitif tam sayı olduğundan xyx^y tektir. xy+z=tek+tek=c\ciftx^y + z = tek + tek = çift (Doğru)

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri arasındaki mantıksal ilişki
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic