Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir torbada üzerinde ardışık tek sayılar yazılı olan kartlar bulunmaktadır. Bu kartlardan üzerinde en küçük sayı yazan kart çıkarıldığında kalan kartların üzerindeki sayıların toplamı 208208, en büyük sayı yazan kart çıkarıldığında ise kalan kartların üzerindeki sayıların toplamı 192192 olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta torbada kaç adet kart vardır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    10
  5. E
    17

Answer

Başlangıçta torbada bulunan kart sayısı 9'dur.
Torbada nn adet kart olduğunu varsayalım. Bu kartların üzerindeki ardışık tek sayıları küçükten büyüğe sırasıyla x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n şeklinde sıralayabiliriz. Tüm kartların üzerindeki sayıların toplamı SS olsun. En küçük kart (x1x_1) çıkarıldığında kalanların toplamı S−x1=208S - x_1 = 208 olur. En büyük kart (xnx_n) çıkarıldığında kalanların toplamı ise S−xn=192S - x_n = 192 olur. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkardığımızda, (S−x1)−(S−xn)=208−192(S - x_1) - (S - x_n) = 208 - 192 işleminden xn−x1=16x_n - x_1 = 16 sonucuna ulaşırız. Ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığı için, nn terimli bu dizide en büyük terim ile en küçük terim arasındaki fark 2(n−1)2(n-1)'dir. Dolayısıyla, 2(n−1)=162(n-1) = 16 eşitliğinden n−1=8n-1 = 8 ve buradan da başlangıçtaki kart sayısı n=9n = 9 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Torbada bulunan kart sayısını nn ve kartların üzerindeki sayıları küçükten büyüğe sırasıyla x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n olarak tanımlayıp toplamlarını SS ile ifade etmek.
Tüm kartların toplamı SS, en küçük kart x1x_1 ve en büyük kart xn=x1+2(n−1)x_n = x_1 + 2(n-1) olur.
Soruda verilen çıkarma işlemlerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için değişken tanımlamamız gerekir.
2
En küçük kart çıkarıldığında kalanların toplam��nı (S−x1=208S - x_1 = 208) ve en büyük kart çıkarıldığında kalanların toplamını (S−xn=192S - x_n = 192) yazıp taraf tarafa çıkarmak.
(S−x1)−(S−xn)=208−192⇒xn−x1=16(S - x_1) - (S - x_n) = 208 - 192 \Rightarrow x_n - x_1 = 16 bulunur.
En büyük kart ile en küçük kart arasındaki farkı elde ederek terim sayısı (nn) ile ilişkilendirmek.
3
Ardışık tek sayılar arasındaki ortak fark 22 olduğundan, en büyük terim ile en küçük terim arasındaki farkı 2(n−1)2(n-1) şeklinde yazıp nn değerini bulmak.
2(n−1)=16⇒n−1=8⇒n=92(n-1) = 16 \Rightarrow n-1 = 8 \Rightarrow n = 9 elde edilir.
nn terimli bir ardışık tek sayı dizisinde en büyük terim ile en küçük terim arasındaki fark 2(n−1)2(n-1) formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Ardışık tek sayıların genel terimleri ve iki terim arasındaki farkın terim sayısı ile ilişkisi
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic