Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir spor salonundaki merdiven basamakları aşağıdan yukarıya doğru 11'den başlayarak ardışık sayma sayılarıyla numaralandırılmıştır. Bu merdivenden seçilen ardışık 77 basamağın numaraları toplamı, bu basamaklardan hemen sonra gelen ardışık 55 basamağın numaraları toplamına eşittir.

Buna göre, seçilen bu 1212 basamaktan numarası en küçük olan basamağın numarası kaçtır?

  1. A
    77
  2. B
    1111
  3. 1212Answer
  4. D
    1616
  5. E
    2424

Answer

En küçük basamağın numarası 1212 olmalıdır.
En küçük basamak numarası xx olarak seçildiğinde, ardışık ilk 77 basamağın toplamı 7x+217x + 21 olur. Bunlardan hemen sonra gelen 55 basamak ise x+7x+7 ile başlar ve toplamları 5x+455x + 45 olur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde 7x+21=5x+457x + 21 = 5x + 45 denklemi elde edilir. Buradan 2x=242x = 24 ve x=12x = 12 bulunur. Dolayısıyla en küçük basamağın numarası 1212 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Seçilen ardışık 12 basamaktan en küçüğünün numarasını xx değişkeni ile ifade ederek ilk 7 basamağın numaralarını belirleme.
İlk 7 basamağın numaraları sırasıyla x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5,x+6x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6 olur.
Ardışık sayma sayıları birer birer arttığı için ilk terim xx ise diğer terimler buna göre yazılır.
2
Bu ilk 7 basamağın numaralarının toplamını (S1S_1) hesaplama.
S1=7x+21S_1 = 7x + 21 olarak bulunur.
x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)=7x+21x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6) = 7x + 21 toplam formülüyle elde edilir.
3
İlk 7 basamaktan hemen sonra gelen ardışık 5 basamağın numaralarını belirleme ve toplamını (S2S_2) hesaplama.
Sonraki 5 basamak x+7,x+8,x+9,x+10,x+11x+7, x+8, x+9, x+10, x+11 olur ve toplamları S2=5x+45S_2 = 5x + 45 olarak bulunur.
Bu basamaklar ilk 7 basamağın bittiği yerin bir fazlası olan x+7x+7'den başlayarak birer artar. Toplamı ise (x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+10)+(x+11)=5x+45(x+7) + (x+8) + (x+9) + (x+10) + (x+11) = 5x + 45 olur.
4
İki toplamın birbirine eşitliğini kullanarak denklemi kurma ve xx değerini çözme.
7x+21=5x+45  ⟹  2x=24  ⟹  x=127x + 21 = 5x + 45 \implies 2x = 24 \implies x = 12 elde edilir.
Soruda ilk 7 basamağın numaraları toplamının, sonraki 5 basamağın numaraları toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Cebirsel Modelleme
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic