Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel Kavramı
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!=48⋅n!(n+2)! - (n+1)! - n! = 48 \cdot n!
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Verilen denklemde sol taraf n!n! ortak parantezine alındığında n!⋅n(n+2)=48⋅n!n! \cdot n(n+2) = 48 \cdot n! elde edilir. Her iki taraf n!n! ile sadeleştirildiğinde ardışık iki çift sayının çarpımı 48 olan tek pozitif tam sayı değerinin 6 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini ortak terim cinsinden yazma
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n!
Sol taraftaki tüm terimleri en küçük faktöriyelli ifade olan n!n! ortak parantezine alabilmek için.
2
Ortak paranteze alma ve sadeleştirme
n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅(n2+2n)n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n)
Sol taraftaki ifadeyi tek bir terim haline getirmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafını n!n! ile sadeleştirme
n(n+2)=48n(n+2) = 48
nn bir doğal sayı olduğundan n!n! değeri sıfırdan büyüktür ve sadeleştirilebilir.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
n2+2n−48=0  ⟹  (n−6)(n+8)=0  ⟹  n=6n^2 + 2n - 48 = 0 \implies (n-6)(n+8) = 0 \implies n = 6
nn doğal sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök olan −8-8 elenir ve n=6n = 6 bulunur.

Key Concept

Faktöriyel içeren ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapılması ve elde edilen denklemin çözülmesi.

Alternative Method

Denklem n(n+2)=48n(n+2) = 48 aşamasına geldikten sonra, aralarında 2 fark bulunan ve çarpımları 48 olan iki pozitif tam sayının 66 ve 88 olduğu doğrudan görülerek n=6n=6 bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel Kavramı

More questions from this topic