Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Pozitif bir nn tam sayısı için p(n)p(n), nn sayısının en büyük asal çarpanı olarak tanımlanıyor.

Buna göre,
p(x)+p(y)=12p(x) + p(y) = 12
eşitliğini sağlayan, aralarında asal iki basamaklı kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı tam sayı ikilisi vardır?
  1. A
    42
  2. 84Answer
  3. C
    12
  4. D
    128
  5. E
    36

Answer

Eşitliği sağlayan 84 farklı (x,y)(x, y) sıralı tam sayı ikilisi vardır.
Doğru cevap 84'tür. p(x)+p(y)=12p(x) + p(y) = 12 eşitliğinde p(x)p(x) ve p(y)p(y) asal sayı olmak zorunda olduğundan bu sayılar yalnızca 5 ve 7 olabilir. p(x)=5p(x)=5 ve p(y)=7p(y)=7 durumu için iki basamaklı ve ortak asal çarpanı olmayan xx ve yy sayıları yazıldığında 42 farklı (x,y)(x,y) ikilisi elde edilir. p(x)=7p(x)=7 ve p(y)=5p(y)=5 durumu da simetrik olarak 42 ikili getireceğinden toplam durum sayısı 84 olur.

Step-by-Step Solution

1
En büyük asal çarpanların değerlerini belirleme
p(x)p(x) ve p(y)p(y) değerleri asal sayı olmak zorundadır. Toplamları 12 olan iki asal say�� yalnızca 5 ve 7'dir. Dolayısıyla {p(x),p(y)}={5,7}\{p(x), p(y)\} = \{5, 7\} olmalıdır. İlk olarak p(x)=5p(x) = 5 ve p(y)=7p(y) = 7 durumunu inceleyelim.
Fonksiyonun tanımı gereği çıktıların asal sayı olması gerekir ve toplamı 12 yapan asal çifti aranır.
2
Asal çarpan kümelerini tanımlama
p(x)=5p(x) = 5 ise xx'in asal çarpanları yalnızca {2,3,5}\{2, 3, 5\} kümesinden seçilebilir ve 5 mutlaka bulunmalıdır. p(y)=7p(y) = 7 ise yy'in asal çarpanları yalnızca {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesinden seçilebilir ve 7 mutlaka bulunmalıdır.
En büyük asal çarpan sınırları, sayıların bölünebileceği diğer asal sayıları belirler.
3
Aralarında asallık ve basamak koşullarını uygulama
xx ve yy aralarında asal olduğundan ortak asal çarpanları olamaz. Bu nedenle 5 sayısı yy'nin çarpanı olamaz. Geriye kalan 2 ve 3 asal çarpanları xx ve yy arasında paylaştırılmalıdır. İki basamaklı (10 ile 99 arasında) olma koşuluna göre durumlar şöyledir:

Durumx'in Asal Çarpanlarıy'nin Asal Çarpanlarıx Değerleri (Adet)y Değerleri (Adet)İkili Sayısı
1{5}{7}25 (1)49 (1)1 x 1 = 1
2{2, 5}{7}10, 20, 40, 50, 80 (5)49 (1)5 x 1 = 5
3{3, 5}{7}15, 45, 75 (3)49 (1)3 x 1 = 3
4{2, 3, 5}{7}30, 60, 90 (3)49 (1)3 x 1 = 3
5{5}{2, 7}25 (1)14, 28, 56, 98 (4)1 x 4 = 4
6{5}{3, 7}25 (1)21, 63 (2)1 x 2 = 2
7{5}{2, 3, 7}25 (1)42, 84 (2)1 x 2 = 2
8{2, 5}{3, 7}10, 20, 40, 50, 80 (5)21, 63 (2)5 x 2 = 10
9{3, 5}{2, 7}15, 45, 75 (3)14, 28, 56, 98 (4)3 x 4 = 12
Ortak asal çarpan barındırmama koşulu altında tüm olası iki basamaklı sayı kombinasyonları sayılır.
4
Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama
p(x)=5p(x) = 5 ve p(y)=7p(y) = 7 için toplam 1+5+3+3+4+2+2+10+12=421+5+3+3+4+2+2+10+12 = 42 farklı durum vardır. Sıralı ikili belirtildiğinden p(x)=7p(x) = 7 ve p(y)=5p(y) = 5 durumu da simetrik olarak 42 farklı durum verir. Toplam sıralı ikili sayısı 42+42=8442 + 42 = 84 bulunur.
(x,y)(x, y) sıralı ikililerinde bileşenlerin yer değiştirmesi yeni bir durum oluşturur.

Key Concept

En Büyük Asal Çarpan ve Aralarında Asallık İlişkisi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic