Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x+2)+22≤7x+a−52+x−1 \frac{a(x + 2) + 2}{2} \leq \frac{7x + a - 5}{2} + x - 1
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin boş küme olmadığı ve bu eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayı değerinin 33 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aa parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [3,92)[3, \frac{9}{2})
  2. B
    (3,92)(3, \frac{9}{2})
  3. (3,92](3, \frac{9}{2}]Answer
  4. D
    (3,9)(3, 9)
  5. E
    [92,275)[\frac{9}{2}, \frac{27}{5})

Answer

Eşitsizliği sağlayan aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (3,92](3, \frac{9}{2}] yarı açık aralığıdır.
Doğru olan seçenek, eşitsizliğin çözüm kümesini alttan sınırlı yapan a<9a < 9 koşulu altında en küçük tam sayı çözümünün 3 olmasını sağlayan sınır değer aralığını tam olarak (3,92](3, \frac{9}{2}] şeklinde ifade eder. a=92a = \frac{9}{2} iken sınır değer tam olarak 3 olur ve en küçük tam sayı çözüm koşulu sağlanır; ancak a=3a = 3 iken sınır değer 2 olacağından en küçük çözüm 2 olur ve koşul sağlanmaz.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği düzenleyerek xx terimlerini bir araya getirelim.
Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarptığımızda:
a(x+2)+2≤7x+a−5+2(x−1) a(x + 2) + 2 \leq 7x + a - 5 + 2(x - 1)
ax+2a+2≤7x+a−5+2x−2 a x + 2a + 2 \leq 7x + a - 5 + 2x - 2
ax+2a+2≤9x+a−7 a x + 2a + 2 \leq 9x + a - 7
xx içeren terimleri sol tarafa, diğer sabitleri sağ tarafa toplarsak:
(a−9)x≤−a−9 (a - 9)x \leq -a - 9
Her iki tarafı −1-1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:
(9−a)x≥a+9 (9 - a)x \geq a + 9
Eşitsizliği sadeleştirerek xx katsayısını ve sabit terimi belirlemek için bu düzenleme gereklidir.
2
Eşitsizliğin en küçük tam sayı çözümünün var olabilmesi için 9−a9-a katsayısının işaretini analiz edelim.
En küçük tam sayı çözümünün var olabilmesi için çözüm kümesinin alttan sınırlı olması, yani x≥kx \geq k şeklinde olması gerekir.
- Eğer 9−a<0  ⟹  a>99 - a < 0 \implies a > 9 olursa, her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir ve x≤a+99−ax \leq \frac{a+9}{9-a} olur. Bu durumda çözüm kümesi üstten sınırlı olacağından en küçük tam sayı değeri bulunamaz.
- Eğer 9−a=0  ⟹  a=99 - a = 0 \implies a = 9 olursa, 0≥180 \geq 18 çelişkisi elde edilir ve çözüm kümesi boş küme olur.
Dolayısıyla, çözüm kümesinin alttan sınırlı olması için 9−a>0  ⟹  a<99 - a > 0 \implies a < 9 olmalıdır. Bu koşul altında her iki tarafı pozitif olan 9−a9-a değerine böldüğümüzde yön değişmez:
x≥a+99−a x \geq \frac{a + 9}{9 - a}
Çözüm kümesinin sınır tipini (alttan veya üstten sınırlı) katsayının işaretine göre belirlemek gerekir.
3
Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değerinin 3 olması koşulunu sınır değerine uygulayalım.
x≥a+99−ax \geq \frac{a + 9}{9 - a} eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayının 3 olması için sınır değerinin 2 ile 3 arasında olması gerekir:
2<a+99−a≤3 2 < \frac{a + 9}{9 - a} \leq 3
Burada sınır değeri 2 olursa (x≥2x \geq 2), en küçük tam sayı çözümü 2 olacağından 2 dahil edilmemiştir. Sınır değeri 3 olursa (x≥3x \geq 3), en küçük tam sayı çözümü 3 olacağından 3 dahil edilmiştir.
Çözüm kümesindeki en küçük tam sayının tam olarak 3 olmasını sağlayan reel sayı sınırlarını belirlemek için bu aralık kurulur.
4
Elde edilen rasyonel eşitsizlik sistemini a<9a < 9 (yani 9−a>09 - a > 0) koşulu altında çözelim.
Her tarafı pozitif olan 9−a9 - a ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez:
2(9−a)<a+9≤3(9−a) 2(9 - a) < a + 9 \leq 3(9 - a)
18−2a<a+9≤27−3a 18 - 2a < a + 9 \leq 27 - 3a
Sistemi iki parçaya ayırarak çözelim:
1) 18−2a<a+9  ⟹  9<3a  ⟹  a>318 - 2a < a + 9 \implies 9 < 3a \implies a > 3
2) a+9≤27−3a  ⟹  4a≤18  ⟹  a≤92a + 9 \leq 27 - 3a \implies 4a \leq 18 \implies a \leq \frac{9}{2}
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, a<9a < 9 şartını da sağlayan en geniş aralık:
3<a≤92 3 < a \leq \frac{9}{2}
olarak bulunur.
aa parametresinin alabileceği değerlerin sınırlarını ve doğru aralık gösterimini elde etmek için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli parametrik eşitsizliklerin çözümü, yön değiştirme kuralları ve sınır değer analizi.

Alternative Method

Seçeneklerdeki sınır değerleri asıl eşitsizlikte yerine yazılarak deneme yapılabilir. Örneğin, a=3a = 3 için eşitsizlik çözüldüğünde x≥2x \geq 2 elde edilir ve en küçük tam sayı çözümü 2 olur; bu durum a=3a = 3 değerinin çözüm aralığında bulunmaması gerektiğini (a>3a > 3) gösterir. a=4a = 4 için x≥2,6x \geq 2,6 elde edilir ve en küçük tam sayı çözümü 3 olur; bu durum 4 değerinin aralıkta bulunması gerektiğini doğrular. Bu şekilde uç noktalar test edilerek doğru seçeneğe ulaşılabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic