Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir hedef tahtasında 1'den nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış nn adet bölge bulunmaktadır. Bu hedef tahtasına bir ok atan Melih, bu bölgelerden yalnız birini vurmuştur.

Vurulan bölge dışındaki diğer tüm bölgelerin numara ortalaması 13,2513,25 olduğuna göre, Melih'in vurduğu bölgenin numarası kaçtır?

  1. A
    5
  2. 7Answer
  3. C
    9
  4. D
    11
  5. E
    13

Answer

Vurulan bölgenin numarası 7'dir.
Doğru olan seçenekteki 7 değeri, n=25n=25 toplam bölge sayısı için tüm koşulları eksiksiz sağlar. 1'den 25'e kadar sayıların toplamı 325'tir. 7 numaralı bölge vurulduğunda geriye kalan 24 bölgenin toplamı 318 olur. Bu sayıların ortalaması ise 318/24=13,25318 / 24 = 13,25 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Vurulan bölgenin numarasına xx diyelim. Kalan bölgelerin sayısını ve bu bölgelerin numaralar�� toplamını tanımlayalım.
Başlangıçta nn adet bölge olduğundan, 1 bölge vurulduktan sonra geriye n−1n-1 adet bölge kalır. Kalan bölgelerin numaraları toplamı Skalan=n(n+1)2−xS_{\text{kalan}} = \frac{n(n+1)}{2} - x olur.
Ortalama hesabı için kalan sayıların toplamını kalan terim sayısına bölmemiz gerekir.
2
Ortalama değerini kullanarak kalan sayıların toplamı için bir eşitlik kuralım.
Ortalama 13,25=13+14=53413,25 = 13 + \frac{1}{4} = \frac{53}{4} olduğuna g��re, Skalann−1=534  ⟹  Skalan=53(n−1)4\frac{S_{\text{kalan}}}{n-1} = \frac{53}{4} \implies S_{\text{kalan}} = \frac{53(n-1)}{4} elde edilir.
Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirerek tam sayı bölünebilme ilişkilerini kullanabiliriz.
3
SkalanS_{\text{kalan}} bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, terim sayısı olan n−1n-1 ifadesinin alabileceği değerleri analiz edelim.
SkalanS_{\text{kalan}} tam sayı olduğundan n−1n-1, 4'ün bir katı olmalıdır (n−1=4mn-1 = 4m). 1'den nn'ye kadar ardışık sayıların ortalaması yaklaşık olarak ortanca terim olan n+12\frac{n+1}{2} değerine yakın olmalıdır. n+12≈13,25  ⟹  n≈25,5\frac{n+1}{2} \approx 13,25 \implies n \approx 25,5 olur. n−1n-1 ifadesi 4'ün katı olacağına göre en uygun aday n−1=24  ⟹  n=25n-1 = 24 \implies n = 25 değeridir.
Ardışık sayıların ortalaması her zaman sınır değerlerin ortalamasına yakındır, bu da bize nn için dar bir aralık verir.
4
n=25n = 25 değerini yerine koyarak silinen xx sayısını hesaplayalım.
Eğer n=25n = 25 ise toplam bölge puanı 25×262=325\frac{25 \times 26}{2} = 325 olur. Kalan bölgelerin toplamı ise 24×13,25=31824 \times 13,25 = 318 olur. Buradan x=325−318=7x = 325 - 318 = 7 elde edilir. Bu değer 1≤x≤251 \le x \le 25 şartını sağladığından çözümdür.
Toplam puandan kalan puanı çıkardığımızda vurulan bölgenin puanını buluruz.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplam formülü, terim sayısı ve aritmetik ortalama arasındaki bölünebilme ilişkisi.

Alternative Method

Ortalama yaklaşık olarak ortanca terimi verdiğinden, 1'den nn'ye kadar olan sayıların ortalaması n+12≈13,25  ⟹  n≈25,5\frac{n+1}{2} \approx 13,25 \implies n \approx 25,5 olur. Buradan nn değerinin 25 veya 26 olabileceği tahmin edilebilir. Kalan sayıların adedi olan n−1n-1 ifadesi, ortalamanın paydasındaki 4 değerinden ötürü 4'ün katı olmalıdır. n=25n=25 için n−1=24n-1=24 (4'ün katı) olduğundan n=25n=25 doğrudan belirlenir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic