Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II ifadeleri her zaman tek sayıdır.
I ve II öncüllerindeki ifadeler, aa ve bb sayılarının zıt paritede olması ve cc sayısının tek olması durumlarının her ikisinde de tek sayı sonucunu vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen çarpım ifadesini analiz ederek temel çarpanların paritesini belirlemek.
a+ba+b ifadesi tek sayı ve cc sayısı tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
a+ba+b toplamının tek olmasından hareketle aa ve bb değişkenlerinin durumlarını incelemek.
aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı kesinlikle çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek olması için bu sayıların biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
aa çift ve bb tek ise: c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. aa tek ve bb çift ise: tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=tek\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
4
İkinci öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift, cc ise tek sayıdır. Bu durumda c¸ift+tek=tek\text{çift} + \text{tek} = \text{tek} elde edilir.
5
Üçüncü öncüldeki bc+ab^c + a ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayı değildir, hatta tam sayı bile olmayabilir.
cc sayısının pozitif olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, c=−1c = -1 (tek sayı) ve b=2b = 2 (çift sayı), a=1a = 1 (tek sayı) alınırsa bc+a=2−1+1=32b^c + a = 2^{-1} + 1 = \frac{3}{2} olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik durumu tanımlı değildir.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma kuralları ile üssün pozitif tam sayı olma zorunluluğu.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic