Examkin

Question

Difficulty: HardÖnermeler ve Bağlaçlar

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,

p:a3⋅b<0p: a^3 \cdot b < 0
q:b2⋅c>0q: b^2 \cdot c > 0
r:a⋅c>0r: a \cdot c > 0

önermeleri veriliyor.

(p∧q)⇒r(p \land q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −,+,−-, +, -
  2. B
    +,−,−+, -, -
  3. C
    −,−,+-, -, +
  4. −,+,+-, +, +Answer
  5. E
    +,+,−+, +, -

Answer

Değişkenlerin işaretleri sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif olmalıdır.
Koşullu önermenin doğruluk değerinin sıfır olmasından yola çıkılarak önermelerin doğruluk değerleri p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olarak bulunur. Bu doğruluk değerleri gerçel sayıların kuvvet ve çarpım kuralları ile birleştirildiğinde aa negatif (−-), bb pozitif (++) ve cc pozitif (++) olarak elde edilir. Bu durum sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif seçeneğinde doğru verilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu önermenin doğruluk değerini çözümlemek.
p∧q≡1p \land q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir.
Bir ise bağlacının (A⇒BA \Rightarrow B) yanlış (00) olabilmesi için hipotezin doğru (A≡1A \equiv 1) ve hükmün yanlış (B≡0B \equiv 0) olması gerekir.
2
Bileşik önermenin bileşenlerinin doğruluk değerlerini belirlemek.
p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 bulunur.
Ve bağlacıyla bağlanan iki önermenin doğru (11) olması için her iki önermenin de ayrı ayrı doğru olması gerekir.
3
İkinci önerme yardımıyla son değişkenin işaretini belirlemek.
c>0c > 0 (pozitif) olmalıdır.
bb sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan karesi daima pozitiftir (b2>0b^2 > 0). b2⋅c>0b^2 \cdot c > 0 ifadesinin doğru (q≡1q \equiv 1) olması için cc pozitif olmalıdır.
4
Üçüncü önermenin yanlışlığını kullanarak ilk değişkenin işaretini belirlemek.
a<0a < 0 (negatif) olmalıdır.
r:a⋅c>0r: a \cdot c > 0 önermesi yanlış (00) olduğuna göre, a⋅c≤0a \cdot c \le 0 olmalıdır. aa ve cc sıfırdan farklı olduğundan a⋅c<0a \cdot c < 0 olmalıdır. c>0c > 0 olduğuna göre, aa negatif olmalıdır.
5
İlk önerme yardımıyla ikinci değişkenin işaretini belirlemek.
b>0b > 0 (pozitif) olmalıdır.
a<0a < 0 olduğundan tek kuvveti de negatiftir (a3<0a^3 < 0). p:a3⋅b<0p: a^3 \cdot b < 0 önermesinin doğru (p≡1p \equiv 1) olabilmesi için negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpılması gerekir, bu yüzden bb pozitif olmalıdır.

Key Concept

İse bağlacının yanlışlık durumu ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla gerçel sayıların işaret analizi.
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic