Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar
xx, yy ve zz birer tam sayı olmak üzere,
(x−y)⋅(y−z)(x - y) \cdot (y - z)
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x+zx + z
II. x⋅z+yx \cdot z + y
III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z

ifadelerinden hangileri her zaman çift say��dır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    II ve III

Answer

I ve III
Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Bu durumda x−yx-y ve y−zy-z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır. İki tam sayının farkının tek sayı olması, bu sayıların zıt pariteye (biri tek, diğeri çift) sahip olduğunu gösterir. Dolayısıyla, yy çift sayı ise xx ve zz tek sayı; yy tek sayı ise xx ve zz çift sayıdır. Her iki durumda da xx ve zz aynı pariteye sahiptir.

I. öncüldeki x+zx + z ifadesinde, aynı paritedeki iki sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından bu ifade her zaman çift sayıdır.

III. öncüldeki x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z ifadesi y(x+z)y(x + z) şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir. x+zx+z her zaman çift sayı olduğundan, bu toplamın yy tam sayısı ile çarpımı da her zaman çift sayı olur.

Bu nedenlerle doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.

Step-by-Step Solution

1
Çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
x−yx - y ve y−zy - z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin parite ilişkisini belirlemek
xx ve zz aynı pariteye (ikisi de çift veya ikisi de tek) sahipken, yy bunlardan farklı pariteye sahiptir.
x−yx - y tek ise xx ve yy farklı paritededir. y−zy - z tek ise yy ve zz farklı paritededir. Dolayısıyla xx ve zz aynı paritede olmalıdır.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. x+zx + z her zaman çift sayıdır. II. x⋅z+yx \cdot z + y her zaman tek sayıdır. III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z her zaman çift sayıdır.
Aynı paritedeki iki sayının toplamı çifttir. Birinci öncül her zaman çift olur. İkinci öncülde her iki durumda da sonuç tek olur. Üçüncü öncül y(x+z)y(x + z) olarak yazıldığında, x+zx + z çift olduğundan sonuç her zaman çift olur.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılar
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic