Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir okuldaki yan yana bulunan ve en az iki sınıftan oluşan bir gruptaki her bir sınıfın öğrenci sayıları, soldan sağa doğru artan ardışık pozitif tam sayılardır. Bu sınıflardaki toplam öğrenci sayısı, grupta öğrenci sayısı en az olan sınıf ile en çok olan sınıfın öğrenci sayılarının çarpımına eşittir.

Buna göre, bu sınıflardaki toplam öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 18Answer
  4. D
    24
  5. E
    28

Answer

Toplam öğrenci sayısı 18 olabilir.
Toplam öğrenci sayısının 18 olması durumunda, ardışık 4 sınıfın öğrenci sayıları 3, 4, 5 ve 6 olur. Bu sayıların toplamı 18'dir. En küçük sayı (3) ile en büyük sayının (6) çarpımı da 18 olduğundan koşul sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Sınıf sayısını ve öğrenci sayılarını cebirsel olarak ifade etme.
Gruptaki sınıf sayısı kk (k≥2k \ge 2) ve en küçük öğrenciye sahip sınıftaki öğrenci sayısı xx olsun. Sınıflardaki öğrenci sayıları soldan sağa sırasıyla x,x+1,x+2,…,x+k−1x, x+1, x+2, \dots, x+k-1 olur.
Ardışık sayıların toplamı ve çarpımı arasındaki ilişkiyi kurabilmek için değişken tanımlanmalıdır.
2
Toplam ve çarpım ifadelerini eşitleme.
Toplam öğrenci sayısı: T=k(2x+k−1)2T = \frac{k(2x + k - 1)}{2} olur. En az ve en çok öğrenciye sahip sınıfların çarpımı: P=x(x+k−1)P = x(x + k - 1) olur. İfadeler eşitlendiğinde: k(2x+k−1)2=x(x+k−1)  ⟹  k(k−1)=2x(x−1)\frac{k(2x + k - 1)}{2} = x(x + k - 1) \implies k(k-1) = 2x(x-1) elde edilir.
Soruda sınıflardaki toplam öğrenci sayısının, en küçük ve en büyük öğrenci sayılarının çarpımına eşit olduğu verilmiştir.
3
Toplam formülüne göre seçenekleri inceleme.
Toplamın 18 olması durumunda, x(x+k−1)=18x(x+k-1) = 18 olur. 18'in pozitif çarpan çiftleri incelendiğinde, x=3x=3 ve x+k−1=6x+k-1=6 (yani k=4k=4) için k(k−1)=4×3=12k(k-1) = 4 \times 3 = 12 ve 2x(x−1)=2×3×2=122x(x-1) = 2 \times 3 \times 2 = 12 eşitliği sağlanır.
Toplamın alabileceği değerler, xx ve x+k−1x+k-1 pozitif tam sayılarının çarpımı şeklinde olmalıdır.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülü ve çarpanlara ayırma analizi.

Alternative Method

Toplamın alabileceği değer olan T'yi çarpanlarına ayırarak doğrudan deneme yöntemiyle xx ve x+k−1x+k-1 değerleri belirlenebilir. Örneğin 18'in çarpanları 3 ve 6'dır. Buradan en küçük sayı 3, en büyük sayı 6 olarak alındığında aradaki sayıların (3, 4, 5, 6) toplamının da 18'i verdiği doğrudan doğrulanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic