Examkin

Question

Difficulty: MediumAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Farklı asal çarpanlarının toplamı, pozitif bölen sayısına eşit olan pozitif tam sayılara 'asal-özdeş sayılar' denir.

Buna göre, iki basamaklı asal-özdeş sayı kaçtır?

Answer: 84

Answer

İki basamaklı asal-özdeş sayı 84'tür.
İki basamaklı asal-özdeş sayı olan 84 sayısı, 22⋅31⋅712^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. Farklı asal çarpanlarının toplamı 2+3+7=122+3+7=12'dir. Pozitif bölen sayısı ise (2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1)=12'dir. Bu değerler birbirine eşit olduğundan 84 sayısı asal-özdeş bir sayıdır. Yapılan analizler, iki basamaklı sayılar arasında bu şartı sağlayan başka bir doğal sayı olmadığını göstermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Tanıma uygun matematiksel ifadeleri yazmak.
Bir nn sayısı için farklı asal ��arpanların toplamı S(n)=p1+p2+⋯+prS(n) = p_1 + p_2 + \dots + p_r ve pozitif bölen sayısı PBS(n)=(a1+1)(a2+1)…(ar+1)PBS(n) = (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_r+1) olur. Aranan şart S(n)=PBS(n)S(n) = PBS(n) olmasıdır.
Soruda verilen asal-özdeşlik tanımını formülize etmek için.
2
Asal çarpan sayısına (rr) göre durumları analiz etmek.
Tek asal çarpanlı (r=1r=1) durumda iki basamaklı çözüm yoktur (p=3  ⟹  n=9p=3 \implies n=9, p=5  ⟹  n=625p=5 \implies n=625). İki asal çarpanlı (r=2r=2) durumda p1+p2=(a1+1)(a2+1)p_1+p_2 = (a_1+1)(a_2+1) eşitliği incelenir. İki basamaklı ve bu şartı sağlayan bir n=p1ap2bn = p_1^a p_2^b sayısı bulunamaz (örneğin n=33⋅51=135n = 3^3 \cdot 5^1 = 135 üç basamaklıdır).
Çözüm uzayını daraltmak ve olası basamak sayıların�� kontrol etmek için.
3
Üç asal çarpanlı (r=3r=3) durumu inceleyip en küçük çözümü oluşturmak.
Asal çarpanları {2,3,7}\{2, 3, 7\} seçtiğimizde toplamları 2+3+7=122+3+7=12 olur. Bölen sayısının 12 olması için üsler {1,1,2}\{1, 1, 2\} olmalıdır. Sayıyı en küçük tutmak için büy��k üssü küçük asala veririz: n=22⋅31⋅71=84n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 84 sayısı iki basamaklıdır ve şartı sağlar.
İki basamaklı aralıkta şartı sağlayan tek sayıyı tespit etmek için.

Key Concept

Bir doğal sayının asal çarpanlarının toplamı ile pozitif bölen sayısının hesaplanması ve analiz edilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic