Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler basamağındaki rakam silinip bu rakam sayının soluna eklendiğinde elde edilen üç basamaklı sayı CABCAB olmaktadır.

ABC−CAB=270ABC - CAB = 270

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan üç basamaklı tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 4131

Answer

Koşulu sağlayan ��ç basamaklı tüm ABCABC sayılarının toplamı 4131'dir.
Verilen ABCABC ve CABCAB sayıları çözümlendiğinde 100A+10B+C−(100C+10A+B)=270  ⟹  90A+9B−99C=270100A + 10B + C - (100C + 10A + B) = 270 \implies 90A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir. Bu denklemi 9 ile sadeleştirdiğimizde 10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 olur. Burada 10A+B10A + B ifadesi iki basamaklı ABAB sayısını ifade ettiği için AB=11C+30AB = 11C + 30 yazabiliriz. CABCAB üç basamaklı bir sayı olduğundan C≥1C \ge 1 olmalıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olduğu için A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 olur. Bu durumda CC için 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerleri verilebilir. Buna göre elde edilen ABCABC sayıları 411, 522, 633, 744, 855, 966'dır. Bu sayıların toplamı ise 411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Sayılarda çözümleme işlemini uygulayarak denklemi oluşturma.
90A+9B−99C=27090A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir.
Sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi, aralarındaki farkı basitleştirmemizi sağlar.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirme.
10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 veya iki basamaklı sayı formunda AB−11C=30AB - 11C = 30 elde edilir.
Her terim 9'un katı olduğundan denklemin her iki tarafı da 9'a bölünerek daha sade bir biçim elde edilir.
3
CC rakamına değerler vererek ABAB iki basamaklı sayısını ve dolayısıyla A,B,CA, B, C rakamlarını belirleme.
CC değerleri 1'den 6'ya kadar değişirken ABCABC sayıları sırasıyla 411, 522, 633, 744, 855, 966 olarak bulunur.
C≥1C \ge 1 olmalıdır çünkü CABCAB üç basamaklı bir sayıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olmak zorunda olduğundan A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 sınırlandırması bulunur.
4
Bulunan tüm ABCABC sayılarının toplamını hesaplama.
411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 bulunur.
Soruda bizden bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Çözümleme yöntemi kullanılarak basamak analizinin yapılması ve rakam olma şartlarına göre değer verilmesi.
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic