Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı

(a−3)x+a2+1≥0 (a - 3)x + a^2 + 1 \geq 0

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,5](-\infty, 5] olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Answer: -5

Answer

a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı -5'tir.
Çözüm kümesinin sınır değerinin 5 olması ve eşitsizliğin yön değiştirmesi nedeniyle a−3<0a-3 < 0 koşulu altında −a2−1a−3=5\frac{-a^2-1}{a-3} = 5 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri olan −7-7 ve 22 değerlerinin her ikisi de a<3a < 3 koşulunu sağladığından toplamları −5-5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlik yönünün değişimini inceleyerek aa parametresinin sınır koşulunu belirleme.
a−3<0  ⟹  a<3a - 3 < 0 \implies a < 3 olmalıdır.
Orijinal eşitsizlik ≥\geq yönündeyken çözüm kümesi x≤5x \leq 5 biçimindedir. Eşitsizliğin yön değiştirmesi için her iki tarafın bölündüğü a−3a-3 katsayısının negatif olması gerekir.
2
Eşitsizlikte xx değişkenini yalnız bırakma.
x≤−a2−1a−3x \leq \frac{-a^2-1}{a-3}
a−3<0a-3 < 0 olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafı a−3a-3'e bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Elde edilen sınır değerini, çözüm kümesinin üst sınırı olan 5'e eşitleyerek ikinci dereceden denklemi kurma ve çözme.
−a2−1a−3=5  ⟹  a2+5a−14=0  ⟹  (a+7)(a−2)=0  ⟹  a=−7\frac{-a^2-1}{a-3} = 5 \implies a^2 + 5a - 14 = 0 \implies (a+7)(a-2) = 0 \implies a = -7 veya a=2a = 2
En geniş çözüm kümesinin üst sınırı 5 olarak verilmiştir.
4
Bulunan aa değerlerinin başlangıçtaki a<3a < 3 koşuluna uygunluğunu denetleme ve toplamını hesaplama.
−7<3-7 < 3 ve 2<32 < 3 olup her iki değer de koşulu sağlar. Değerler toplamı: −7+2=−5-7 + 2 = -5 olur.
Eşitsizliğin yön değiştirmesini sağlayan tüm geçerli aa değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayıya bölme/çarpma yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve sınır değer analizi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic