Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
x2−3x+x2−3x+5=7x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7

denkleminin rasyonel olan gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -44
  2. B
    -11
  3. -4Answer
  4. D
    3
  5. E
    44

Answer

Rasyonel olan gerçel köklerin çarpımı -4'tür.
Değişken değiştirme yöntemiyle x2−3x+5=u\sqrt{x^2 - 3x + 5} = u dönüşümü yapıldığında u≥0u \ge 0 olmalıdır. Denklem u2+u−12=0u^2 + u - 12 = 0 halini alır ve buradan geçerli kök u=3u = 3 olarak bulunur. Buradan elde edilen x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0 denkleminin kökleri 44 ve −1-1 olup her ikisi de rasyoneldir. Bu köklerin çarpımı −4-4 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemde ortak olan ifadeyi belirleyip değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.
x2−3x+5=u\sqrt{x^2 - 3x + 5} = u dönüşümü yapalım. Bu durumda kareköklü ifadenin tanımı gereği u≥0u \ge 0 olmalıdır. Buradan x2−3x+5=u2  ⟹  x2−3x=u2−5x^2 - 3x + 5 = u^2 \implies x^2 - 3x = u^2 - 5 elde edilir.
Köklü ifadeyi içeren denklemi daha kolay çözülebilen ikinci dereceden bir denkleme dönüştürmek.
2
Elde edilen ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak yeni denklemi oluşturalım.
(u2−5)+u=7  ⟹  u2+u−12=0(u^2 - 5) + u = 7 \implies u^2 + u - 12 = 0 denklemi elde edilir.
Denklemi tek bir değişken (uu) cinsinden standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
uu değişkenine bağlı denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulalım.
(u+4)(u−3)=0  ⟹  u=−4(u + 4)(u - 3) = 0 \implies u = -4 veya u=3u = 3 bulunur. Ancak başlangıçtaki u≥0u \ge 0 koşulundan dolayı u=−4u = -4 olamaz. Dolayısıyla sadece u=3u = 3 değeri geçerlidir.
Kareköklü ifadelerin gerçel sayılardaki tanım aralığı sınırına uygun kökleri seçmek.
4
Geçerli olan u=3u = 3 değerini geri yerine yazarak xx değerlerini hesaplayalım.
x2−3x+5=3  ⟹  x2−3x+5=9  ⟹  x2−3x−4=0\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3 \implies x^2 - 3x + 5 = 9 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+1)=0  ⟹  x=4(x - 4)(x + 1) = 0 \implies x = 4 ve x=−1x = -1 kökleri bulunur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değişkeninin gerçel köklerini elde etmek.
5
Bulunan köklerin rasyonellik durumunu inceleyip istenen çarpım değerini hesaplayalım.
Köklerimiz olan 44 ve −1-1 tam sayılardır ve dolayısıyla rasyonel sayılardır. Bu köklerin çarpımı 4×(−1)=−44 \times (-1) = -4 olarak bulunur.
Soruda talep edilen rasyonel gerçel köklerin çarpımını bulmak.

Key Concept

İkinci dereceden denklemlere dönüştürülebilen köklü denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve köklerin sayı kümelerine göre sınıflandırılması.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri