Examkin

Question

Difficulty: MediumÖnermeler ve Bağlaçlar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
p:a+b toplamı c¸ift sayıdır.q:b+c toplamı tek sayıdır.r:a⋅c c¸arpımı tek sayıdır.\begin{aligned} p&: a + b \text{ toplamı çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ toplamı tek sayıdır.} \\ r&: a \cdot c \text{ çarpımı tek sayıdır.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.

(p∧q)⇒r(p \land q) \Rightarrow r önermesi yanlış olduğuna göre,

I. a+ca + c toplamı tek sayıdır.
II. b⋅cb \cdot c çarpımı çift sayıdır.
III. a+b+ca + b + c toplamı çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II
Verilen koşullu önermenin yanlış olması için ön bileşenin doğru, art bileşenin ise yanlış olması gerekir. Buradan p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir. a+ba+b çift olduğundan aa ve bb aynı karakterdedir. b+cb+c tek olduğundan bb ve cc zıt karakterdedir. Dolayısıyla aa ve cc de zıt karakterde olur. Bu durumda, zıt karakterdeki iki tam sayının toplamı her zaman tek, biri çift olmak zorunda olduğundan çarpımları her zaman çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu önermenin doğruluk değerini analiz etme
p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0
(p∧q)⇒r≡0(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0 ise ise bağlacının özelliğinden dolayı hipotez doğru (p∧q≡1p \land q \equiv 1), hüküm yanlı�� (r≡0r \equiv 0) olmalıdır. p∧q≡1p \land q \equiv 1 ise hem p≡1p \equiv 1 hem de q≡1q \equiv 1 olmalıdır.
2
Önermelerin doğruluk değerlerine g��re sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirleme
aa ile bb aynı teklik-çiftlik karakterine sahip, cc ise bunlardan farklı karakterdedir.
p≡1p \equiv 1 olduğundan a+ba+b çifttir, yani aa ve bb aynı karakterdedir (ikisi de çift veya ikisi de tek). q≡1q \equiv 1 olduğundan b+cb+c tektir, yani bb ve cc zıt karakterdedir. Bu durumda aa ile cc de zıt karakterde olur. r≡0r \equiv 0 olduğundan a⋅ca \cdot c çift sayıdır, bu da aa ve cc'den en az birinin çift olduğunu gösterir ki zıt karakterde oldukları için bu durum her zaman sağlanır.
3
Öncülleri teker teker değerlendirme
I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur, III. ifade ise her zaman doğru değildir.
I. aa ve cc zıt karakterde olduğundan toplamları (a+ca+c) her zaman tektir (Doğru). II. bb ve cc zıt karakterde olduğundan biri kesinlikle çift sayıdır, dolayısıyla çarpımları (b⋅cb \cdot c) her zaman çifttir (Doğru). III. aa ve bb çift, cc tek ise toplam tek olur; aa ve bb tek, cc çift ise toplam çift olur, dolayısıyla her zaman doğru değildir.

Key Concept

Koşullu önermenin doğruluk değeri ve tam sayıların teklik-çiftlik durumları ile ilişkilendirilmesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic